Модель масса-пружина-демпфер

Понятие в физике

Классическая модель, используемая для вывода уравнений модели пружинного амортизатора

Модель масса-пружина-демпфер состоит из дискретных массовых узлов, распределенных по всему объекту и соединенных между собой сетью пружин и демпферов . Эта модель хорошо подходит для моделирования объектов со сложными свойствами материалов, такими как нелинейность и вязкоупругость . Такие пакеты, как MATLAB, могут использоваться для запуска моделирования таких моделей. ^[1] Помимо инженерного моделирования, эти системы применяются в компьютерной графике и компьютерной анимации . ^[2]

Вывод (единичная масса)

Вывод уравнений движения для этой модели обычно осуществляется путем суммирования сил, действующих на массу (включая любые приложенные внешние силы) : ${\displaystyle F_{\text{external}})}$

${\displaystyle \Sigma F=-kx-c{\dot {x}}+F_{\text{external}}=m{\ddot {x}}}$

Переставив это уравнение, мы можем вывести стандартную форму:

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=u}$где ${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}};\quad \zeta ={\frac {c}{2m\omega _{n}}};\quad u={\frac {F_{\text{external}}}{m}}}$

${\displaystyle \omega _{n}}$- незатухающая собственная частота , а - коэффициент затухания . Однородное уравнение для системы масс-пружин имеет вид: ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0}$

Вот решение:

${\displaystyle x=Ae^{-\omega _{n}t\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}+Be^{-\omega _{n}t\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}}$

Если тогда отрицательно, то квадратный корень будет мнимым , и, следовательно, решение будет иметь колебательную составляющую. ^[3] ${\displaystyle \zeta <1}$ ${\displaystyle \zeta ^{2}-1}$

Смотрите также

• Численные методы
• Динамика мягкого тела#Пружинные/массовые модели
• Анализ методом конечных элементов

Ссылки

1. "Решение систем массовых пружинных амортизаторов в MATLAB" (PDF) .
2. «Быстрое моделирование систем масса-пружина» (PDF) .
3. "Введение в вибрации, свободный отклик. Часть 2: системы пружин и масс с демпфированием" (PDF) . www.maplesoft.com . Получено 22.09.2024 .