Модули абелевых многообразий

Абелевы многообразия являются естественным обобщением эллиптических кривых , включая алгебраические торы в более высоких измерениях. Подобно тому, как эллиптические кривые имеют естественное пространство модулей над характеристикой 0, построенное как фактор верхней полуплоскости по действию , ^[1] существует аналогичная конструкция для абелевых многообразий с использованием верхнего полупространства Зигеля и симплектической группы . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Конструкции по характеристике 0

Принципиально поляризованные абелевы многообразия

Напомним, что верхняя полуплоскость Зигеля определяется формулой ^[3]

${\displaystyle H_{g}=\{\Omega \in \operatorname {Mat} _{g,g}(\mathbb {C} ):\Omega ^{T}=\Omega ,\operatorname {Im} (\Omega )>0\}\subseteq \operatorname {Sym} _{g}(\mathbb {C} )}$

которое является открытым подмножеством в симметричных матрицах (поскольку является открытым подмножеством и является непрерывным). Обратите внимание: если это дает матрицы с положительной мнимой частью, следовательно, этот набор является обобщением верхней полуплоскости. Тогда любая точка дает комплексный тор ${\displaystyle g\times g}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\Omega )>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} }$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle \Omega \in H_{g}}$

${\displaystyle X_{\Omega }=\mathbb {C} ^{g}/(\Omega \mathbb {Z} ^{g}+\mathbb {Z} ^{g})}$

с главной поляризацией из матрицы ^{[2] стр. 34} . Оказывается, все принципиально поляризованные абелевы многообразия возникают таким образом, давая структуру пространства параметров для всех принципиально поляризованных абелевых многообразий. Но существует эквивалентность, где ${\displaystyle H_{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega ^{-1}}$ ${\displaystyle H_{g}}$

${\displaystyle X_{\Omega }\cong X_{\Omega '}\iff \Omega =M\Omega '}$для ${\displaystyle M\in \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

следовательно, пространство модулей принципиально поляризованных абелевых многообразий строится из стекового фактора

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}=[\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\backslash H_{g}]}$

что дает стек Делиня-Мамфорда более 0 . Если это вместо этого задано коэффициентом GIT , то это дает грубое пространство модулей . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle A_{g}}$

Принципиально поляризованные абелевы многообразия с уровнемн-состав

Во многих случаях легче работать с пространством модулей принципиально поляризованных абелевых многообразий с n -структурой уровня, поскольку это приводит к ужесточению проблемы модулей, которая дает функтор модулей вместо стека модулей. ^{[4] [5]} Это означает, что функтор может быть представлен алгебраическим многообразием, например многообразием или схемой , а не стеком. Уровень n -структуры задается фиксированным базисом

${\displaystyle H_{1}(X_{\Omega },\mathbb {Z} /n)\cong {\frac {1}{n}}\cdot L/L\cong n{\text{-torsion of }}X_{\Omega }}$

где решетка . Фиксация такого базиса удаляет автоморфизмы абелева многообразия в точке пространства модулей, следовательно, существует настоящее алгебраическое многообразие без структуры стабилизатора. Обозначим ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega \mathbb {Z} ^{g}+\mathbb {Z} ^{g}\subset \mathbb {C} ^{2g}}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\ker[\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )/n]}$

и определить

${\displaystyle A_{g,n}=\Gamma (n)\backslash H_{g}}$

как факторвариант.

Рекомендации

1. Хейн, Ричард (25 марта 2014 г.). «Лекции по пространствам модулей эллиптических кривых». arXiv : 0812.1803 [math.AG].
2. Арапура, Дону. «Абелевы многообразия и модули» (PDF) .
3. Биркенхейк, Кристина; Ланге, Герберт (2004). Сложные абелевы многообразия. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (2-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. стр. 210–241. ISBN 978-3-540-20488-6.
4. Мамфорд, Дэвид (1983), Артин, Майкл; Тейт, Джон (ред.), «К перечислительной геометрии пространства модулей кривых», Арифметика и геометрия: статьи, посвященные И. Р. Шафаревичу по случаю его шестидесятилетия. Том II: Геометрия , прогресс в математике, Биркхойзер, стр. 271–328, doi : 10.1007/978-1-4757-9286-7_12, ISBN 978-1-4757-9286-7
5. Структуры уровня n используются для построения теории пересечения стеков Делиня – Мамфорда.

Смотрите также

• Задача Шоттки
• Модульная разновидность Siegel
• Стек модулей эллиптических кривых
• Модули алгебраических кривых
• Схема Гильберта
• Теория деформации