Стек модулей векторных расслоений

Понятие в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии стек модулей векторных расслоений ранга n Vect _n — это стек, параметризующий векторные расслоения (или локально свободные пучки ) ранга n над некоторыми разумными пространствами.

Это гладкий алгебраический стек отрицательной размерности . ^[1] Более того, рассматривая векторное расслоение ранга n как главное -расслоение, Vect _n изоморфен классифицирующему стеку ${\displaystyle -n^{2}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle BGL_{n}=[{\text{pt}}/GL_{n}].}$

Определение

Для базовой категории пусть C — категория схем конечного типа над фиксированным полем k . Тогда — это категория, где ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}}$

1. объект — это пара схемы U в C и векторного расслоения E ранга n над U ${\displaystyle (U,E)}$
2. морфизм состоит из в C и расслоения-изоморфизма . ${\displaystyle (U,E)\to (V,F)}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle f^{*}F{\overset {\sim }{\to }}E}$

Пусть будет забывчивым функтором. Через p , является предстек над C . То, что это стек над C , в точности соответствует утверждению «векторные расслоения обладают свойством спуска ». Обратите внимание, что каждое волокно над U является категорией векторных расслоений ранга n над U , где каждый морфизм является изоморфизмом (т. е. каждое волокно p является группоидом). ${\displaystyle p:\operatorname {Vect} _{n}\to C}$ ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}(U)=p^{-1}(U)}$

Смотрите также

• классифицирующий стек
• стек модулей главных пучков

Ссылки

1. Беренд 2002, Пример 20.2.

• Беренд, Кай (2002). «Локализация и инварианты Громова-Виттена». В де Бартоломейсе; Дубровине; Рейне (ред.). Квантовые когомологии. Lecture Notes in Mathematics . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1776. Berlin: Springer. pp. 3–38. doi :10.1007/978-3-540-45617-9_2.