В математике модуль выпуклости и характеристика выпуклости являются мерами того, «насколько выпуклым » является единичный шар в банаховом пространстве . В некотором смысле модуль выпуклости имеет такое же отношение к ε - δ определению равномерной выпуклости , как модуль непрерывности имеет к ε - δ определению непрерывности .
Определения
Модуль выпуклости банахова пространства ( X , ||⋅||) — это функция δ : [0, 2] → [0, 1], определяемая соотношением
где S обозначает единичную сферу ( X , || ||). В определении δ ( ε ) можно также взять инфимум по всем векторам x , y в X таким, что ǁ x ǁ, ǁ y ǁ ≤ 1 и ǁ x − y ǁ ≥ ε . [1]
Характеристикой выпуклости пространства ( X , || ||) является число ε 0, определяемое соотношением
Эти понятия подразумеваются в общем исследовании равномерной выпуклости Дж. А. Кларксона (Кларксон (1936); это та же статья, содержащая утверждения неравенств Кларксона ). Термин «модуль выпуклости», по-видимому, принадлежит М. М. Дэю. [2]
Характеристики
- Модуль выпуклости δ ( ε ) является неубывающей функцией ε , и частное δ ( ε ) / ε также не убывает на (0, 2] . [3] Модуль выпуклости сам по себе не обязательно должен быть выпуклой функцией ε . [4] Однако модуль выпуклости эквивалентен выпуклой функции в следующем смысле: [ 5] существует выпуклая функция δ 1 ( ε ) такая, что
- Нормированное пространство ( X , ǁ ⋅ ǁ) равномерно выпукло тогда и только тогда, когда его характеристика выпуклости ε 0 равна 0, т.е. тогда и только тогда, когда δ ( ε ) > 0 для любого ε > 0 .
- Банахово пространство ( X , ǁ ⋅ ǁ) является строго выпуклым пространством (т. е. граница единичного шара B не содержит отрезков прямых) тогда и только тогда, когда δ (2) = 1, т. е . если только антиподальные точки (вида x и y = − x ) единичной сферы могут иметь расстояние, равное 2.
- Когда X равномерно выпукло, оно допускает эквивалентную норму с модулем выпуклости степенного типа. [6] А именно, существует q ≥ 2 и константа c > 0 такие, что
Модуль выпуклостиЛПпространства
Модуль выпуклости известен для пространств L P. [7] Если , то он удовлетворяет следующему неявному уравнению:
Зная, что можно предположить, что . Подставляя это в вышеприведенное выражение и разлагая левую часть в ряд Тейлора вокруг , можно вычислить коэффициенты:
Для , имеется явное выражение
Поэтому, .
Смотрите также
Примечания
- ↑ стр. 60 в Линденштраус и Цафрири (1979).
- ↑ Дэй, Махлон (1944), «Равномерная выпуклость в факторных и сопряженных пространствах», Annals of Mathematics , 2, 45 (2): 375–385, doi :10.2307/1969275, JSTOR 1969275
- ^ Лемма 1.e.8, с. 66 в Линденштраусе и Цафрири (1979).
- ^ см. Примечания, стр. 67 в Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
- ^ см. Предложение 1.e.6, стр. 65 и Лемму 1.e.7, 1.e.8, стр. 66 в Lindenstrauss & Tzafriri (1979).
- ^ см. Pisier, Gilles (1975), «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах», Israel Journal of Mathematics , 20 (3–4): 326–350, doi :10.1007/BF02760337, MR 0394135, S2CID 120947324.
- ^ Ханнер, Олоф (1955), «О равномерной выпуклости и », Arkiv for Matematik , 3 : 239–244, doi : 10.1007/BF02589410
Ссылки
- Бозами, Бернард (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (Второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4. МР 0889253.
- Кларксон, Джеймс (1936), «Равномерно выпуклые пространства», Труды Американского математического общества , 40 (3), Американское математическое общество: 396–414, doi : 10.2307/1989630 , JSTOR 1989630
- Фустер, Энрике Льоренс. Некоторые модули и константы, связанные с метрической теорией неподвижных точек. Справочник по метрической теории неподвижных точек , 133–175, Kluwer Acad. Publ., Дордрехт, 2001. MR 1904276
- Линденштраус, Иорам и Беньямини, Иоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ, публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.
- Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1979), Классические банаховы пространства. II. Функциональные пространства , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты по математике и смежным областям], том. 97, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+243, ISBN. 3-540-08888-1.
- Виталий Д. Мильман . Геометрическая теория банаховых пространств II. Геометрия единичной сферы. Успехи математических наук, т. 26, № 6, 73–149, 1971; Обзоры уч. мат. наук , т. 26 6, 80–159.