Модуль объемной упругости

Сопротивление материала равномерному давлению

Иллюстрация равномерного сжатия

Модуль объемной упругости ( или или ) вещества является мерой сопротивления вещества объемному сжатию . Он определяется как отношение бесконечно малого увеличения давления к полученному относительному уменьшению объема . [ ^1] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

Другие модули описывают реакцию материала ( деформацию ) на другие виды напряжений : модуль сдвига описывает реакцию на напряжение сдвига , а модуль Юнга описывает реакцию на нормальное (продольное растяжение) напряжение. Для жидкости имеет значение только модуль объемной упругости. Для сложного анизотропного твердого тела, такого как дерево или бумага , эти три модуля не содержат достаточно информации для описания его поведения, и необходимо использовать полный обобщенный закон Гука . Обратная величина модуля объемной упругости при фиксированной температуре называется изотермической сжимаемостью .

Определение

Модуль объемной упругости (который обычно положителен) можно формально определить уравнением ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}},}$

где - давление, - начальный объем вещества, а - производная давления по объему. Поскольку объем обратно пропорционален плотности, то отсюда следует, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle dP/dV}$

${\displaystyle K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},}$

где — начальная плотность , а — производная давления по плотности. Обратное значение модуля объемной упругости дает сжимаемость вещества . Обычно модуль объемной упругости определяется при постоянной температуре как изотермический модуль объемной упругости, но может быть также определен при постоянной энтропии как адиабатический модуль объемной упругости. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle dP/d\rho }$

Термодинамическое соотношение

Строго говоря, объемный модуль упругости является термодинамической величиной, и для того, чтобы задать объемный модуль упругости, необходимо указать, как изменяется давление при сжатии: возможны вариации при постоянной температуре (изотермические ), при постоянной энтропии ( изоэнтропические ) и другие. Такие различия особенно актуальны для газов . ${\displaystyle K_{T}}$ ${\displaystyle K_{S}}$

Для идеального газа изоэнтропический процесс имеет:

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },}$

где - отношение теплоемкостей . Таким образом, изоэнтропический объемный модуль упругости определяется как ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle K_{S}}$

${\displaystyle K_{S}=\gamma P.}$

Аналогично изотермический процесс идеального газа имеет:

${\displaystyle PV={\text{constant}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}$

Следовательно, изотермический модуль объемной упругости определяется выражением ${\displaystyle K_{T}}$

${\displaystyle K_{T}=P}$.

Когда газ не идеален, эти уравнения дают только приближение к объемному модулю. В жидкости объемный модуль и плотность определяют скорость звука ( волны давления ) согласно формуле Ньютона-Лапласа ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}$

В твердых телах и имеют очень близкие значения. Твердые тела также могут выдерживать поперечные волны : для этих материалов необходим один дополнительный модуль упругости , например, модуль сдвига, чтобы определить скорости волн. ${\displaystyle K_{S}}$ ${\displaystyle K_{T}}$

Измерение

Модуль объемной упругости можно измерить с помощью порошковой дифракции под давлением. Это свойство жидкости, которое показывает ее способность изменять свой объем под давлением.

Выбранные значения

Влияние выбранных добавок компонентов стекла на объемный модуль упругости конкретного базового стекла. ^[6]

Материал с модулем объемной упругости 35 ГПа теряет один процент своего объема при воздействии внешнего давления 0,35 ГПа (~3500 бар ) (предполагается постоянный или слабо зависящий от давления модуль объемной упругости).

Микроскопическое происхождение

Межатомный потенциал и линейная упругость

Межатомный потенциал и сила

Поскольку линейная упругость является прямым результатом межатомного взаимодействия, она связана с расширением/сжатием связей. Затем ее можно вывести из межатомного потенциала для кристаллических материалов. ^[9] Сначала давайте рассмотрим потенциальную энергию двух взаимодействующих атомов. Начиная с очень далеких точек, они будут чувствовать притяжение друг к другу. По мере приближения друг к другу их потенциальная энергия будет уменьшаться. С другой стороны, когда два атома находятся очень близко друг к другу, их общая энергия будет очень высокой из-за отталкивающего взаимодействия. Вместе эти потенциалы гарантируют межатомное расстояние, которое достигает минимального энергетического состояния. Это происходит на некотором расстоянии a ₀ , где общая сила равна нулю:

${\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}$

Где U — межатомный потенциал, а r — межатомное расстояние. Это означает, что атомы находятся в равновесии.

Чтобы распространить подход двух атомов на твердое тело, рассмотрим простую модель, скажем, одномерный массив одного элемента с межатомным расстоянием a, а равновесное расстояние равно a _0. Его зависимость потенциальной энергии от межатомного расстояния имеет такую ​​же форму, как и в случае двух атомов, которая достигает минимума при a _0. Разложение Тейлора для этого имеет вид:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)}$

В состоянии равновесия первая производная равна 0, поэтому доминирующим членом является квадратичный член. Когда смещение мало, члены более высокого порядка следует опустить. Выражение становится:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}}$

${\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})}$

Что, очевидно, является линейной эластичностью.

Обратите внимание, что вывод производится с учетом двух соседних атомов, поэтому коэффициент Хука равен:

${\displaystyle K=a_{0}{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}}$

Эту форму можно легко распространить на трехмерный случай, используя объем на атом (Ω) вместо межатомного расстояния.

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}$

Смотрите также

• Тензор упругости
• Объемная деформация

Ссылки

1. "Объемные упругие свойства". гиперфизика . Университет штата Джорджия.
2. Страница 52 из « Введения в физику твердого тела , 8-е издание» Чарльза Киттеля, 2005, ISBN 0-471-41526-X 
3. Галлас, Марсия Р.; Пьермарини, Гаспер Дж. (1994). «Объемный модуль упругости и модуль Юнга нанокристаллического γ-оксида алюминия». Журнал Американского керамического общества . 77 (11): 2917–2920. doi :10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x. ISSN  1551-2916.
4. "Страница свойств графита Джона А. Ящака". pages.mtu.edu . Получено 16 июля 2021 г.
5. "Силиконовая резина". AZO-материалы .
6. Флюгель, Александр. «Расчет модуля объемной упругости стекол». glassproperties.com .
7. Лю, AY; Коэн, ML (1989). «Прогнозирование новых малосжимаемых твердых тел». Science. 245 (4920): 841–842.
8. Бо, MR (2018). «О природе пространства-времени, космологической инфляции и расширении Вселенной». Препринт. DOI:10.13140/RG.2.2.16796.95364
9. H., Courtney, Thomas (2013). Механическое поведение материалов (2-е изд. Reimp ed.). Нью-Дели: McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1259027512. OCLC  929663641.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Дальнейшее чтение

• Де Йонг, Маартен; Чен, Вэй (2015) . «Диаграмма полных упругих свойств неорганических кристаллических соединений». Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode : 2013NatSD...2E0009D. doi : 10.1038/sdata.2015.9. PMC  4432655. PMID  25984348.