Модуль сдвига

Отношение напряжения сдвига к деформации сдвига

Деформация сдвига

В материаловедении модуль сдвига или модуль жесткости , обозначаемый как G , а иногда S или μ , является мерой упругой жесткости материала при сдвиге и определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига : ^[1]

${\displaystyle G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}}$

где

${\displaystyle \tau _{xy}=F/A\,}$= напряжение сдвига

${\displaystyle F}$это сила, которая действует

${\displaystyle A}$это площадь, на которую действует сила

${\displaystyle \gamma _{xy}}$= деформация сдвига. В машиностроении , в других местах ${\displaystyle :=\Delta x/l=\tan \theta }$ ${\displaystyle :=\theta }$

${\displaystyle \Delta x}$поперечное смещение

${\displaystyle l}$— начальная длина области.

Производной единицей СИ модуля сдвига является паскаль (Па), хотя обычно он выражается в гигапаскалях (ГПа) или в тысячах фунтов на квадратный дюйм (ksi). Его размерная форма — M ¹ L ⁻¹ T ⁻² , заменяя силу на массу , умноженную на ускорение .

Объяснение

Модуль сдвига — одна из нескольких величин для измерения жесткости материалов. Все они возникают в обобщенном законе Гука :

• Модуль Юнга E описывает реакцию материала на деформацию в ответ на одноосное напряжение в направлении этого напряжения (подобно натяжению концов проволоки или размещению груза на вершине колонны, при этом проволока становится длиннее, а колонна теряет высоту),
• Коэффициент Пуассона ν описывает реакцию в направлениях, ортогональных этому одноосному напряжению (проволока становится тоньше, а стержень толще),
• модуль объемной упругости K описывает реакцию материала на (равномерное) гидростатическое давление (например, давление на дне океана или глубокого бассейна),
• Модуль сдвига G описывает реакцию материала на сдвиговое напряжение (подобно резке тупыми ножницами).

Эти модули не являются независимыми, и для изотропных материалов они связаны уравнениями ^[9]

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )}$

Модуль сдвига связан с деформацией твердого тела, когда оно испытывает силу, параллельную одной из его поверхностей, в то время как его противоположная грань испытывает противодействующую силу (такую ​​как трение). В случае объекта, имеющего форму прямоугольной призмы, он деформируется в параллелепипед . Анизотропные материалы, такие как дерево , бумага , а также по существу все монокристаллы демонстрируют различную материальную реакцию на напряжение или деформацию при испытании в разных направлениях. В этом случае может потребоваться использовать полное тензорное выражение упругих констант, а не одно скалярное значение.

Одним из возможных определений жидкости было бы определение материала с нулевым модулем сдвига.

Сдвиговые волны

Влияние выбранных добавок стеклянных компонентов на модуль сдвига конкретного базового стекла. ^[10]

В однородных и изотропных твердых телах существуют два вида волн: волны давления и волны сдвига . Скорость волны сдвига контролируется модулем сдвига, ${\displaystyle (v_{s})}$

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}}$

где

G — модуль сдвига

${\displaystyle \rho }$плотность твердого тела .

Модуль сдвига металлов

Модуль сдвига меди как функция температуры. Экспериментальные данные ^{[11] [12]} показаны цветными символами.

Модуль сдвига металлов обычно уменьшается с ростом температуры. При высоких давлениях модуль сдвига также, по-видимому, увеличивается с приложенным давлением. Корреляции между температурой плавления, энергией образования вакансий и модулем сдвига наблюдались во многих металлах. ^[13]

Существует несколько моделей, которые пытаются предсказать модуль сдвига металлов (и, возможно, сплавов). Модели модуля сдвига, которые использовались в расчетах пластического течения, включают:

1. модель Варшни-Чена-Грея, разработанная ^[14] и используемая совместно с моделью пластического напряжения течения механического порогового напряжения (MTS). ^{[15] [16]}
2. модель модуля сдвига Стейнберга-Кохрана-Гинана (SCG), разработанная ^[17] и используемая совместно с моделью напряжения течения Стейнберга-Кохрана-Гинана-Лунда (SCGL).
3. модель модуля сдвига Надаля и Лепоака (NP) ^[12] , которая использует теорию Линдемана для определения температурной зависимости, и модель SCG для зависимости модуля сдвига от давления.

Модель Варшни-Чена-Грея

Модель Варшни-Чена-Грея (иногда называемая уравнением Варшни) имеет вид:

${\displaystyle \mu (T)=\mu _{0}-{\frac {D}{\exp(T_{0}/T)-1}}}$

где — модуль сдвига при , а и — материальные константы. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle T=0K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle T_{0}}$

Модель SCG

Модель модуля сдвига Стейнберга-Кохрана-Гинана (SCG) зависит от давления и имеет вид

${\displaystyle \mu (p,T)=\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial T}}(T-300);\quad \eta :={\frac {\rho }{\rho _{0}}}}$

где μ ₀ — модуль сдвига в исходном состоянии ( T = 300 К, p = 0, η = 1), p — давление, T — температура.

Модель НП

Модель модуля сдвига Надаля-Ле Поака (NP) является модифицированной версией модели SCG. Эмпирическая температурная зависимость модуля сдвига в модели SCG заменена уравнением, основанным на теории плавления Линдемана . Модель модуля сдвига NP имеет вид:

${\displaystyle \mu (p,T)={\frac {1}{{\mathcal {J}}\left({\hat {T}}\right)}}\left[\left(\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}\right)\left(1-{\hat {T}}\right)+{\frac {\rho }{Cm}}~T\right];\quad C:={\frac {\left(6\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{3}}f^{2}}$

где

${\displaystyle {\mathcal {J}}({\hat {T}}):=1+\exp \left[-{\frac {1+1/\zeta }{1+\zeta /\left(1-{\hat {T}}\right)}}\right]\quad {\text{for}}\quad {\hat {T}}:={\frac {T}{T_{m}}}\in [0,6+\zeta ],}$

и μ ₀ — модуль сдвига при абсолютном нуле и давлении окружающей среды, ζ — площадь, m — атомная масса , а f — постоянная Линдемана .

Модуль релаксации сдвига

Модуль релаксации сдвига представляет собой зависящее от времени обобщение модуля сдвига ^[18] : ${\displaystyle G(t)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\lim _{t\to \infty }G(t)}$.

Смотрите также

• Тензор упругости
• Динамический модуль
• Методика импульсного возбуждения
• Прочность на сдвиг
• Сейсмический момент

Ссылки

1. IUPAC , Compendium of Chemical Terminology , 2nd ed. (The "Gold Book") (1997). Онлайн-исправленная версия: (2006–) "shear modulus, G". doi :10.1351/goldbook.S05635
2. McSkimin, HJ; Andreatch, P. (1972). «Модули упругости алмаза как функция давления и температуры». J. Appl. Phys . 43 (7): 2944–2948. Bibcode : 1972JAP....43.2944M. doi : 10.1063/1.1661636.
3. Crandall, Dahl, Lardner (1959). Введение в механику твёрдых тел . Бостон: McGraw-Hill. ISBN 0-07-013441-3.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
4. Rayne, JA (1961). "Упругие константы железа от 4,2 до 300 ° K". Physical Review . 122 (6): 1714–1716. Bibcode :1961PhRv..122.1714R. doi :10.1103/PhysRev.122.1714.
5. Свойства материала
6. Спанос, Пит (2003). «Влияние системы вулканизации на динамический модуль сдвига натурального каучука при низкой температуре». Rubber World .
7. Хук, Эверт и Джонатан Д. Брей. Инженерное обеспечение скальных склонов. CRC Press, 1981.
8. Паризо, Уильям Г. Анализ конструкции в механике горных пород. CRC Press, 2017.
9. [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости , т. 7. Курс теоретической физики. (2-е изд.) Пергамон: Оксфорд, 1970, стр. 13]
10. Расчет модуля сдвига стекол
11. Овертон, У.; Гаффни, Джон (1955). «Температурное изменение упругих постоянных кубических элементов. I. Медь». Physical Review . 98 (4): 969. Bibcode : 1955PhRv...98..969O. doi : 10.1103/PhysRev.98.969.
12. Надаль, Мари-Элен; Ле Поак, Филипп (2003). "Непрерывная модель для модуля сдвига как функции давления и температуры вплоть до точки плавления: анализ и ультразвуковая проверка". Журнал прикладной физики . 93 (5): 2472. Bibcode : 2003JAP....93.2472N. doi : 10.1063/1.1539913.
13. Марч, Нью-Гэмпшир, (1996), Электронная корреляция в молекулах и конденсированных фазах, Springer, ISBN 0-306-44844-0 стр. 363 
14. Varshni, Y. (1970). «Температурная зависимость упругих постоянных». Physical Review B. 2 ( 10): 3952–3958. Bibcode : 1970PhRvB...2.3952V. doi : 10.1103/PhysRevB.2.3952.
15. Чен, Шу Ронг; Грей, Джордж Т. (1996). «Конститутивное поведение тантала и сплавов тантала с вольфрамом». Metallurgical and Materials Transactions A. 27 ( 10): 2994. Bibcode : 1996MMTA...27.2994C. doi : 10.1007/BF02663849. S2CID  136695336.
16. Goto, DM; Garrett, RK; Bingert, JF; Chen, SR; Gray, GT (2000). "The mechanical threshold stress constitutive-strength model description of HY-100 steel" (PDF) . Metallurgical and Materials Transactions A . 31 (8): 1985–1996. Bibcode :2000MMTA...31.1985G. doi :10.1007/s11661-000-0226-8. S2CID  136118687. Архивировано из оригинала 25 сентября 2017 г.
17. Guinan, M; Steinberg, D (1974). "Производные давления и температуры изотропного поликристаллического модуля сдвига для 65 элементов". Журнал физики и химии твердого тела . 35 (11): 1501. Bibcode : 1974JPCS...35.1501G. doi : 10.1016/S0022-3697(74)80278-7.
18. Рубинштейн, Майкл, 1956 20 декабря - (2003). Физика полимеров . Колби, Ральф Х. Оксфорд: Oxford University Press. стр. 284. ISBN 019852059X. OCLC  50339757.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )