Модульная эллиптическая кривая

Математическая концепция

Графики эллиптических кривых y ² = x ³ − x и y ² = x ³ − x + 1. Если рассматривать их как кривые над рациональными числами, то теорема о модулярности утверждает, что их можно параметризовать модулярной кривой.

Модулярная эллиптическая кривая — это эллиптическая кривая E , допускающая параметризацию X ₀ ( N ) →  E модулярной кривой . Это не то же самое, что модулярная кривая, которая случайно оказывается эллиптической кривой, что можно было бы назвать эллиптической модулярной кривой. Теорема модульности , также известная как гипотеза Таниямы–Шимуры, утверждает, что каждая эллиптическая кривая, определенная над рациональными числами, является модулярной.

История и значение

В 1950-х и 1960-х годах японский математик Горо Шимура предположил связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами , основываясь на идеях, выдвинутых Ютакой Таниямой . На Западе она стала широко известна благодаря статье Андре Вейля 1967 года . Поскольку Вейль предоставил концептуальные доказательства, ее иногда называют гипотезой Таниямы–Шимуры–Вейля . Она утверждает, что каждая рациональная эллиптическая кривая является модулярной .

На другом ветке развития, в конце 1960-х годов, Ив Эллегуарх выступил с идеей связать решения ( a , b , c ) уравнения Ферма с совершенно другим математическим объектом: эллиптической кривой. ^[1] Кривая состоит из всех точек на плоскости, координаты ( x ,  y ) которых удовлетворяют соотношению

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n}).\,}$

Такая эллиптическая кривая обладала бы совершенно особыми свойствами, которые обусловлены появлением в ее уравнении больших степеней целых чисел и тем фактом, что a ⁿ  +  b ⁿ = c ⁿ также является n -й степенью.

Летом 1986 года Кен Рибет продемонстрировал, что, как и предполагал Герхард Фрей , частный случай гипотезы Таниямы–Шимуры (в то время еще не доказанной) вместе с теперь доказанной гипотезой эпсилон (теперь называемой теоремой Рибета ) влечет Великую теорему Ферма. Таким образом, если гипотеза Таниямы–Шимуры верна для полустабильных эллиптических кривых , то Великая теорема Ферма будет верна. Однако этот теоретический подход широко считался недостижимым, поскольку сама гипотеза Таниямы–Шимуры считалась полностью недостижимой для доказательства с использованием современных знаний. ^[2] Например, бывший руководитель Уайлса Джон Коутс утверждает, что это, по-видимому, «невозможно доказать на самом деле», ^[3] и Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали [это] полностью недостижимым». ^[4]

Услышав о доказательстве гипотезы эпсилон 1986 года, Уайлс решил начать исследования исключительно в направлении доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры. Рибет позже прокомментировал, что «Эндрю Уайлс был, вероятно, одним из немногих людей на земле, у которых хватило наглости мечтать о том, что можно пойти и доказать [это]».  ^[4]

Уайлс впервые объявил о своем доказательстве в среду 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Эллиптические кривые и представления Галуа». ^[5] Однако в сентябре 1993 года в доказательстве была обнаружена ошибка. Год спустя, в понедельник 19 сентября 1994 года, в то, что он назвал бы «самым важным моментом [его] трудовой жизни», Уайлс наткнулся на откровение, «столь неописуемо прекрасное... столь простое и столь элегантное», что позволило ему исправить доказательство к удовлетворению математического сообщества. Правильное доказательство было опубликовано в мае 1995 года. Доказательство использует множество методов из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет множество ответвлений в этих разделах математики. Оно также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы , и другие методы 20-го века, недоступные Ферма.

Теорема о модульности

Теорема утверждает, что любая эллиптическая кривая над Q может быть получена с помощью рационального отображения с целыми коэффициентами из классической модулярной кривой

${\displaystyle X_{0}(N)\ }$

для некоторого целого числа N ; это кривая с целыми коэффициентами с явным определением. Это отображение называется модулярной параметризацией уровня N . Если N — наименьшее целое число, для которого может быть найдена такая параметризация (которое по самой теореме о модулярности теперь известно как число, называемое проводником ), то параметризация может быть определена в терминах отображения, сгенерированного определенным видом модулярной формы веса два и уровня N , нормализованной новой формой с целым q -расширением, за которым при необходимости следует изогения .

Теорема о модулярности подразумевает тесно связанное аналитическое утверждение: к эллиптической кривой E над Q мы можем присоединить соответствующий ряд L. Ряд L является рядом Дирихле , обычно записываемым

${\displaystyle L(s,E)=\prod _{p}L_{p}(s,E)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

где произведение и коэффициенты определяются в дзета-функции Хассе–Вейля . Производящая функция коэффициентов тогда ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle f(q,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Если мы сделаем замену

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }\ }$

мы видим, что мы записали разложение Фурье функции комплексной переменной τ , поэтому коэффициенты ряда q также рассматриваются как коэффициенты Фурье . Полученная таким образом функция, что примечательно, является формой параболы веса два и уровня N , а также собственной формой (собственным вектором всех операторов Гекке ); это гипотеза Хассе–Вейля , которая следует из теоремы о модулярности. ${\displaystyle f(\tau ,E)}$ ${\displaystyle f}$

Некоторые модулярные формы веса два, в свою очередь, соответствуют голоморфным дифференциалам для эллиптической кривой. Якобиан модулярной кривой может (с точностью до изогении) быть записан как произведение неприводимых абелевых многообразий , соответствующих собственным формам Гекке веса 2. Одномерные факторы являются эллиптическими кривыми (могут быть и более многомерные факторы, поэтому не все собственные формы Гекке соответствуют рациональным эллиптическим кривым). Кривая, полученная путем нахождения соответствующей формы возврата и последующего построения из нее кривой, изогенна исходной кривой (но, в общем случае, не изоморфна ей).

Ссылки

1. Хеллегуарх, Ив (2001). Приглашение на математику Ферма–Уайлса . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-339251-0.
2. Сингх, Саймон (октябрь 1998). Загадка Ферма . Нью-Йорк: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Збл  0930.00002.^{: 203–205, 223, 226}
3. Сингх, Саймон (октябрь 1998). Загадка Ферма . Нью-Йорк: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Збл  0930.00002.^{: 226}
4. Singh, Simon (октябрь 1998). Fermat's Enigma . Нью-Йорк: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Збл  0930.00002.^{: 223}
5. Колата, Джина (24 июня 1993 г.). «Наконец-то крик „Эврика!“ в древней математической тайне». The New York Times . Получено 21 января 2013 г.

Дальнейшее чтение

• Уайлс, Эндрю (1995), «Модулярные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Annals of Mathematics , вторая серия, 141 (3): 443–551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076 , doi :10.2307/2118559, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118559, MR  1333035
• Уайлс, Эндрю (1995), «Модулярные формы, эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Труды Международного конгресса математиков, т. 1, 2 (Цюрих, 1994) , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 243–245, MR  1403925