Модульная эллиптическая кривая

Графы эллиптических кривых y ² = x ³ − x и y ² = x ³ − x + 1. Если мы рассматриваем их как кривые над рациональными числами, то теорема модулярности утверждает, что они могут быть параметризованы модулярной кривой.

Модульная эллиптическая кривая — это эллиптическая кривая E , которая допускает параметризацию X ₀ ( N ) →  E модулярной кривой . Это не то же самое, что модульная кривая, которая оказывается эллиптической кривой, которую можно назвать эллиптической модульной кривой. Теорема о модулярности , также известная как гипотеза Таниямы-Шимуры, утверждает, что каждая эллиптическая кривая, определенная над рациональными числами, является модулярной.

История и значение

В 1950-х и 1960-х годах связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами была выдвинута японским математиком Горо Шимурой на основе идей Ютаки Таниямы . На Западе он стал широко известен благодаря статье Андре Вейля, опубликованной в 1967 году . Поскольку Вейль предоставил концептуальные доказательства этого, ее иногда называют гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля . Он утверждает, что каждая рациональная эллиптическая кривая является модулярной .

На отдельной ветви развития, в конце 1960-х годов, Иву Хеллегуарку пришла в голову идея связать решения ( a , b , c ) уравнения Ферма с совершенно другим математическим объектом: эллиптической кривой. ^[1] Кривая состоит из всех точек плоскости, координаты которых ( x ,  y ) удовлетворяют соотношению

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n}).\,}$

Такая эллиптическая кривая будет обладать совершенно особыми свойствами, которые обусловлены появлением в ее уравнении больших степеней целых чисел и тем фактом, что a n ⁺  bn  = ^c n ^также является n-й степенью .

Летом 1986 года Кен Рибет продемонстрировал, что, как и ожидал Герхард Фрей , частный случай гипотезы Таниямы-Шимуры (в то время еще не доказанной) вместе с теперь доказанной гипотезой об эпсилоне (теперь называемой теоремой Рибета ) подразумевает Великую теорему Ферма. Таким образом, если гипотеза Таниямы–Шимуры верна для полустабильных эллиптических кривых, то Великая теорема Ферма будет верна. Однако этот теоретический подход считался недостижимым, поскольку сама гипотеза Таниямы-Шимуры считалась совершенно недоступной для доказательства с использованием современных знаний. ^[2] Например, бывший руководитель Уайлса Джон Коутс заявляет, что это казалось «невозможным на самом деле доказать», ^[3] а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали, что [это] совершенно недоступно». ^[4]

Услышав в 1986 году доказательство гипотезы об эпсилоне, Уайлс решил начать исследования исключительно в направлении доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры. Позже Рибет прокомментировал: «Эндрю Уайлс, вероятно, был одним из немногих людей на земле, у которых хватило смелости мечтать о том, что вы действительно можете пойти и доказать [это]».  ^[4]

Уайлс впервые объявил о своем доказательстве в среду 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Эллиптические кривые и представления Галуа». ^[5] Однако в сентябре 1993 года в доказательстве была обнаружена ошибка. Год спустя, в понедельник 19 сентября 1994 года, в то, что он назвал «самым важным моментом в [своей] трудовой жизни», Уайлс наткнулся на откровение, «такое неописуемо прекрасное... такое простое и такое элегантное», позволило ему исправить доказательство к удовлетворению математического сообщества. Правильное доказательство было опубликовано в мае 1995 года. В доказательстве используются многие методы алгебраической геометрии и теории чисел , и оно имеет множество разветвлений в этих областях математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категории схем и теория Ивасавы , а также другие методы 20-го века , недоступные Ферма.

Теорема модульности

Теорема утверждает, что любая эллиптическая кривая над Q может быть получена с помощью рационального отображения с целыми коэффициентами из классической модулярной кривой .

${\displaystyle X_{0}(N)\ }$

для некоторого целого числа N ; это кривая с целыми коэффициентами с явным определением. Это отображение называется модульной параметризацией уровня N. Если N — наименьшее целое число, для которого можно найти такую ​​параметризацию (которое, согласно самой теореме модульности, теперь известно как число, называемое проводником ) , то параметризация может быть определена в терминах отображения, порожденного определенным видом модульная форма веса два и уровня N , нормализованная новая форма с целочисленным q -расширением, за которой, если необходимо, следует изогения .

Из теоремы модулярности следует близкое аналитическое утверждение: к эллиптической кривой E над Q мы можем присоединить соответствующий L-ряд . L - серия — это серия Дирихле , обычно записываемая

${\displaystyle L(s,E)=\prod _{p}L_{p}(s,E)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

где произведение и коэффициенты определены в дзета-функции Хассе – Вейля . Тогда производящая функция коэффициентов равна ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle f(q,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Если мы сделаем замену

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }\ }$

мы видим, что мы написали разложение Фурье функции комплексной переменной τ , поэтому коэффициенты q -ряда также считаются коэффициентами Фурье . Полученная таким образом функция, что примечательно, является формой возврата веса два и уровня N , а также является собственной формой (собственным вектором всех операторов Гекке ); это гипотеза Хассе–Вейля , вытекающая из теоремы модулярности. ${\displaystyle f(\tau ,E)}$ ${\displaystyle f}$

Некоторые модулярные формы веса два, в свою очередь, соответствуют голоморфным дифференциалам эллиптической кривой. Якобиан модулярной кривой можно (с точностью до изогении) записать как произведение неприводимых абелевых многообразий , что соответствует собственным формам Гекке веса 2. Одномерные факторы представляют собой эллиптические кривые (могут также существовать факторы более высокой размерности, поэтому не все собственные формы Гекке соответствуют рациональным эллиптическим кривым). Кривая, полученная путем нахождения соответствующей формы возврата и последующего построения по ней кривой, изогенна исходной кривой (но, вообще говоря, не изоморфна ей).

Рекомендации

1. Хеллегуарх, Ив (2001). Приглашение на математику Ферма–Уайлса . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-339251-0.
2. Сингх, Саймон (октябрь 1998 г.). Загадка Ферма . Нью-Йорк: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Збл  0930.00002.^{: 203–205, 223, 226}
3. Сингх, Саймон (октябрь 1998 г.). Загадка Ферма . Нью-Йорк: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Збл  0930.00002.^{: 226}
4. Сингх, Саймон (октябрь 1998 г.). Загадка Ферма . Нью-Йорк: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Збл  0930.00002.^{: 223}
5. Колата, Джина (24 июня 1993 г.). «Наконец-то крик «Эврика!» В вековой математической тайне». Нью-Йорк Таймс . Проверено 21 января 2013 г.

дальнейшее чтение

• Уайлс, Эндрю (1995), «Модулярные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Annals of Mathematics , Second Series, 141 (3): 443–551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076 , doi : 10.2307/2118559, ISSN  0003-486X , АВТОР  2118559, МР  1333035
• Уайлс, Эндрю (1995), «Модулярные формы, эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Цюрих, 1994) , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 243–245, MR  1403925.