stringtranslate.com

Модульная разновидность Siegel

Двумерный срез квинтики Калаби–Яу . Одна такая квинтика бирационально эквивалентна компактификации модулярного многообразия Зигеля A 1,3 (2). [1]

В математике модулярное многообразие Зигеля или пространство модулей Зигеля — это алгебраическое многообразие , которое параметризует некоторые типы абелевых многообразий фиксированной размерности . Точнее, модулярные многообразия Зигеля — это пространства модулей главно поляризованных абелевых многообразий фиксированной размерности. Они названы в честь Карла Людвига Зигеля , немецкого теоретика чисел 20-го века, который ввел эти многообразия в 1943 году. [2] [3]

Модулярные многообразия Зигеля являются наиболее простыми примерами многообразий Шимуры . [4] Модулярные многообразия Зигеля обобщают пространства модулей эллиптических кривых на более высокие размерности и играют центральную роль в теории модулярных форм Зигеля , которые обобщают классические модулярные формы на более высокие размерности. [1] Они также имеют приложения к энтропии черных дыр и конформной теории поля . [5]

Строительство

Модулярное многообразие Зигеля A g , которое параметризует главно поляризованные абелевы многообразия размерности g , может быть построено как комплексное аналитическое пространство, построенное как фактор верхнего полупространства Зигеля степени g по действию симплектической группы . Комплексные аналитические пространства имеют естественно связанные алгебраические многообразия по GAGA Серра . [ 1]

Модулярное многообразие Зигеля A g ( n ), параметризующее главнополяризованные абелевы многообразия размерности g со структурой уровня n , возникает как фактор верхнего полупространства Зигеля по действию главной конгруэнтной подгруппы уровня n симплектической группы. [1]

Модулярное многообразие Зигеля может быть также построено как многообразие Шимуры, определяемое данными Шимуры, связанными с симплектическим векторным пространством . [4]

Характеристики

Модулярное многообразие Зигеля A g имеет размерность g ( g  + 1)/2. [1] [6] Кроме того, Юнг-Шенг Тай, Эберхард Фрейтаг и Дэвид Мамфорд показали , что A g имеет общий тип, когда g  ≥ 7. [1] [7] [8] [9]

Модулярные многообразия Зигеля могут быть компактифицированы для получения проективных многообразий . [1] В частности, компактификация A 2 (2) бирационально эквивалентна кубике Сегре , которая на самом деле рациональна . [1] Аналогично, компактификация A 2 (3) бирационально эквивалентна квартике Буркхардта , которая также рациональна. [1] Другое модулярное многообразие Зигеля, обозначаемое A 1,3 (2), имеет компактификацию, которая бирационально эквивалентна квинтике Барта–Ньето , которая бирационально эквивалентна модулярному многообразию Калаби–Яу с размерностью Кодаиры ноль. [1]

Модулярные многообразия Зигеля не могут быть анабелевыми . [10]

Приложения

Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля. [1] Модулярные многообразия Зигеля использовались в конформной теории поля через теорию модулярных форм Зигеля. [11] В теории струн функция, которая естественным образом фиксирует микросостояния энтропии черной дыры в системе D1D5P суперсимметричных черных дыр , является модулярной формой Зигеля. [5]

В 1968 году Алексей Паршин показал, что гипотеза Морделла (теперь известная как теорема Фалтингса) будет верна, если гипотеза о конечности Шафаревича верна, представив трюк Паршина. [12] [13] В 1983 и 1984 годах Герд Фалтингс завершил доказательство гипотезы Морделла, доказав гипотезу о конечности Шафаревича. [14] [15] [13] Основная идея доказательства Фалтингса — сравнение высот Фалтингса и наивных высот с помощью модулярных многообразий Зигеля. [16]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcdefghijk Hulek, Klaus; Sankaran, GK (2002). "Геометрия модулярных многообразий Зигеля". Высокомерная бирациональная геометрия . Расширенные исследования чистой математики. Том 35. С. 89–156. arXiv : math/9810153 . doi :10.2969/aspm/03510089. ISBN 978-4-931469-85-3. S2CID  119595519.
  2. ^ Ода, Такаюки (2014). «Пересечения двух стен фундаментальной области Готшлинга модулярной группы Зигеля рода два». В Heim, Bernhard; Al-Baali, Mehiddin; Rupp, Florian (ред.). Автоморфные формы, исследования в теории чисел из Омана . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 115. Springer. pp. 193–221. doi :10.1007/978-3-319-11352-4_15. ISBN 978-3-319-11352-4.
  3. ^ Siegel, Carl Ludwig (1943). «Симплектическая геометрия». American Journal of Mathematics . 65 (1). Johns Hopkins University Press: 1–86. doi : 10.2307/2371774. JSTOR  2371774.
  4. ^ ab Milne, James S. (2005). "Введение в многообразия Шимуры" (PDF) . В Arthur, James; Ellwood, David; Kottwitz, Robert (ред.). Гармонический анализ, формула следа и многообразия Шимуры . Clay Mathematics Proceedings. Том 4. Американское математическое общество и Clay Mathematics Institute. стр. 265–378. ISBN 978-0-8218-3844-0.
  5. ^ ab Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (11 апреля 2017 г.). "Модулярные формы Зигеля и энтропия черной дыры" (PDF) . Журнал физики высоких энергий . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Bibcode :2017JHEP...04..057B. doi :10.1007/JHEP04(2017)057. S2CID  53684898.См. раздел 1 статьи.
  6. ^ Ван дер Гир, Джерард (2013). "Когомологии пространства модулей абелевых многообразий". В Фаркас, Гаврил; Моррисон, Ян (ред.). Справочник по модулям, том 1. Том 24. Сомервилл, Массачусетс: International Press. arXiv : 1112.2294 . ISBN 9781571462572.
  7. ^ Тай, Юнг-Шэн (1982). «О размерности Кодаиры пространства модулей абелевых многообразий». Математические изобретения . 68 (3): 425–439. Бибкод : 1982InMat..68..425T. дои : 10.1007/BF01389411. S2CID  120441933.
  8. ^ Фрайтаг, Эберхард (1983). Siegelsche Modulfunktionen . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). Том. 254. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-642-68649-8. ISBN 978-3-642-68650-4.
  9. ^ Mumford, David (1983). "On the Kodaira dimension of the Siegel modular variation". В Ciliberto, C.; Ghione, F.; Orecchia, F. (ред.). Algebraic Geometry - Open Problems, Proceedings of the Conference performed in Ravello, May 31 - June 5, 1982. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 997. Springer. pp. 348–375. doi :10.1007/BFb0061652. ISBN 978-3-540-12320-0.
  10. ^ Ихара, Ясутака ; Накамура, Хироаки (1997). «Некоторые иллюстративные примеры для анабелевой геометрии в больших размерностях». В Шнепс, Лейла ; Лохак, Пьер (ред.). Геометрические действия Галуа 1: Вокруг программы Гротендика Esquisse d'un . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 242. Издательство Кембриджского университета. С. 127–138. doi :10.1017/CBO9780511758874.010. ISBN 978-0-521-59642-8.
  11. ^ Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (7 ноября 2018 г.). «Парамодулярные формы Зигеля и разреженность в AdS3/CFT2». Журнал физики высоких энергий . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Bibcode : 2018JHEP...11..037B. doi : 10.1007/JHEP11(2018)037. S2CID  54936474.
  12. ^ Паршин, АН (1968). "Алгебраические кривые над функциональными полями I" (PDF) . Изв. АН СССР Сер. Матем. 32 (5): 1191–1219. Bibcode :1968IzMat...2.1145P. doi :10.1070/IM1968v002n05ABEH000723.
  13. ^ ab Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , ред. (1986). Арифметическая геометрия. Доклады конференции, состоявшейся в Университете Коннектикута, Сторрс, Коннектикут, 30 июля – 10 августа 1984 г. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1. МР  0861969.
  14. ^ Фальтингс, Герд (1983). «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern» [Теоремы о конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F. дои : 10.1007/BF01388432. MR  0718935. S2CID  121049418.
  15. ^ Фальтингс, Герд (1984). «Ошибка: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. дои : 10.1007/BF01388572 . МР  0732554.
  16. ^ "Фалтингс связывает два понятия высоты посредством пространства модулей Зигеля... Это основная идея доказательства". Блох, Спенсер (1984). "Доказательство гипотезы Морделла" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 6 (2): 44. doi :10.1007/BF03024155. S2CID  306251. Архивировано из оригинала (PDF) 2019-03-03.