Модульная решетка

В разделе математики, называемом теорией порядка , модулярная решетка — это решетка , которая удовлетворяет следующему самодвойственному условию :

Модульный закон: $a \leq b$ подразумевает $a \lor (x \land b) = (a \lor x) \land b$

где $x, a, b$ — произвольные элементы в решетке, ≤ — частичный порядок , а ∨ и ∧ (называемые join и meet соответственно) — операции решетки. Эта формулировка подчеркивает интерпретацию в терминах проекции на подрешетку $[a, b]$ , факт, известный как теорема об изоморфизме алмаза . ^[1] Альтернативное, но эквивалентное условие, сформулированное в виде уравнения (см. ниже), подчеркивает, что модулярные решетки образуют многообразие в смысле универсальной алгебры .

Модульные решетки естественным образом возникают в алгебре и во многих других областях математики. В этих сценариях модулярность является абстракцией 2-й теоремы об изоморфизме . Например, подпространства векторного пространства (и, в более общем смысле, подмодули модуля над кольцом ) образуют модулярную решетку.

В не обязательно модулярной решетке все еще могут быть элементы $b$ , для которых выполняется модульный закон в связи с произвольными элементами $x$ и $a$ (для $a \leq b$ ). Такой элемент называется правым модулярным элементом . Еще более обще, модульный закон может выполняться для любого $a$ и фиксированной пары $(x, b)$ . Такая пара называется модулярной парой , и существуют различные обобщения модулярности, связанные с этим понятием и с полумодулярностью .

Модульные решетки иногда называют решетками Дедекинда в честь Ричарда Дедекинда , который открыл модулярное тождество в нескольких мотивирующих примерах.

Введение

Модульный закон можно рассматривать как ограниченный ассоциативный закон , который связывает две решеточные операции аналогично тому, как ассоциативный закон λ(μ x ) = (λμ) x для векторных пространств связывает умножение в поле и скалярное умножение.

Ограничение $a \leq b$ , очевидно, необходимо, поскольку оно следует из $a \lor (x \land b) = (a \lor x) \land b$ . Другими словами, никакая решетка с более чем одним элементом не удовлетворяет неограниченному следствию модулярного закона.

Легко видеть ^[2] , что $a \leq b$ подразумевает $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land b$ в любой решетке. Поэтому модульный закон можно также сформулировать как

Модульный закон (вариант): $a \leq b$ подразумевает $(a \lor x) \land b \leq a \lor (x \land b)$ .

Модульный закон можно выразить как уравнение, которое должно выполняться безусловно. Поскольку $a \leq b$ подразумевает $a = a \land b$ и поскольку $a \land b \leq b$ , замените $a$ на $a \land b$ в определяющем уравнении модульного закона, чтобы получить:

Модульная идентичность: $(а \land б) \lor (х \land б) = ((а \land б) \lor х) \land б$ .

Это показывает, что, используя терминологию универсальной алгебры , модулярные решетки образуют подмногообразие многообразия решеток . Поэтому все гомоморфные образы, подрешетки и прямые произведения модулярных решеток снова модулярны.

Примеры

Решетка подмодулей модуля над кольцом модулярна. Как частный случай, решетка подгрупп абелевой группы модулярна.

Решетка нормальных подгрупп группы модулярна. Но в общем случае решетка всех подгрупп группы немодулярна . Например, решетка подгрупп диэдральной группы порядка 8 немодулярна.

Наименьшая немодулярная решетка — это решетка «пентагон» N _5, состоящая из пяти элементов 0, 1, x , a , b таких, что 0 < x < b < 1, 0 < a < 1, и a не сравнимо ни с x , ни с b . Для этой решетки

х ∨ ( а ∧ б ) = х ∨ 0 = х < б = 1 ∧ б = ( х ∨ а ) ∧ б

выполняется, что противоречит модульному закону. Каждая немодулярная решетка содержит копию N ₅ в качестве подрешетки. ^[3]

Характеристики

Каждая дистрибутивная решетка является модулярной. ^[4]^[5]

Dilworth (1954) доказал, что в любой конечной модулярной решетке число неприводимых к соединению элементов равно числу неприводимых к пересечению элементов. В более общем смысле, для каждого $k$ число элементов решетки, которые покрывают ровно $k$ других элементов, равно числу, которые покрываются ровно $k$ другими элементами. ^[6]

Полезное свойство, показывающее, что решетка не является модульной, заключается в следующем:

Решетка

G

является модулярной тогда и только тогда, когда для любых

a, b, c \in G

{\Big (}(c\leq a){\text{ и }}(a\wedge b=c\wedge b){\text{ и }}(a\vee b=c\vee b){\Big )}\Rightarrow (a=c)

Набросок доказательства: Пусть G — модулярный, и пусть посылка импликации верна. Тогда, используя поглощение и модулярную идентичность:

с = ( с ∧ б ) ∨ с = ( а ∧ б ) ∨ с = а ∧ ( б ∨ с ) = а ∧ ( б ∨ а ) = а

Для другого направления, пусть импликация теоремы верна в G. Пусть a , b , c — любые элементы в G, такие, что c ≤ a . Пусть x = ( a ∧ b ) ∨ c , y = a ∧ ( b ∨ c ). Из модульного неравенства немедленно следует, что x ≤ y . Если мы покажем, что x ∧ b = y ∧ b , x ∨ b = y ∨ b , то использование предположения x = y должно выполняться. Остальная часть доказательства — это рутинные манипуляции с инфимумами, супремумами и неравенствами. ^{[ необходима цитата ]}

Теорема об изоморфизме алмаза

Для любых двух элементов a , b модулярной решетки можно рассмотреть интервалы [ a ∧ b , b ] и [ a , a ∨ b ]. Они связаны отображениями, сохраняющими порядок

φ: [ a ∧ b , b ] → [ a , a ∨ b ] и

ψ: [ а , а ∨ б ] → [ а ∧ б , б ]

которые определяются соотношениями φ( x ) = x ∨ a и ψ( y ) = y ∧ b .

В модулярной решетке отображения φ и ψ, обозначенные стрелками, являются взаимно обратными изоморфизмами.
Несостоятельность теоремы об изоморфизме алмаза в немодулярной решетке.

Композиция ψφ является сохраняющим порядок отображением из интервала [ a ∧ b , b ] в себя, которое также удовлетворяет неравенству ψ(φ( x )) = ( x ∨ a ) ∧ b ≥ x . Пример показывает, что это неравенство может быть строгим в общем случае. Однако в модулярной решетке равенство выполняется. Поскольку двойственное к модулярной решетке снова является модулярным, φψ также является тождеством на [ a , a ∨ b ], и, следовательно, два отображения φ и ψ являются изоморфизмами между этими двумя интервалами. Этот результат иногда называют теоремой об изоморфизме алмаза для модулярных решеток. Решетка является модулярной тогда и только тогда, когда теорема об изоморфизме алмаза выполняется для каждой пары элементов.

Теорема об изоморфизме алмаза для модулярных решеток аналогична второй теореме об изоморфизме в алгебре и является обобщением теоремы о решетке .

Модульные пары и связанные с ними понятия

В любой решетке модулярная пара — это пара ( a, b ) элементов, такая, что для всех x, удовлетворяющих a ∧ b ≤ x ≤ b , мы имеем ( x ∨ a ) ∧ b = x , т. е. если для пары выполняется одна половина теоремы об изоморфизме алмаза. ^[7] Элемент b решетки называется правым модулярным элементом , если ( a, b ) является модулярной парой для всех элементов a , а элемент a называется левым модулярным элементом, если ( a, b ) является модулярной парой для всех элементов b . ^[8]

Решетка со свойством, что если ( a, b ) является модулярной парой, то ( b, a ) также является модулярной парой, называется M-симметричной решеткой . ^[9] Таким образом, в M-симметричной решетке каждый правый модульный элемент также является левым модульным, и наоборот. Поскольку решетка является модулярной тогда и только тогда, когда все пары элементов являются модулярными, очевидно, что каждая модульная решетка является M-симметричной. В решетке N _5, описанной выше, пара ( b, a ) является модулярной, но пара ( a, b ) — нет. Следовательно, N ₅ не является M-симметричной. Центрированная шестиугольная решетка S ₇ является M-симметричной, но не модулярной. Поскольку N ₅ является подрешеткой S ₇ , отсюда следует, что M-симметричные решетки не образуют подмногообразия многообразия решеток.

M-симметрия не является самодвойственным понятием. Двойственная модулярная пара — это пара, которая является модулярной в двойственной решетке, а решетка называется дуально M-симметричной или M ^* -симметричной, если ее двойственная решетка является M-симметричной. Можно показать, что конечная решетка является модулярной тогда и только тогда, когда она M-симметрична и M ^* -симметрична. Та же эквивалентность имеет место для бесконечных решеток, которые удовлетворяют условию восходящей цепи (или условию нисходящей цепи).

Несколько менее важных понятий также тесно связаны. Решетка является кросс-симметричной , если для каждой модулярной пары ( a, b ) пара ( b, a ) является дуально-модулярной. Кросс-симметрия подразумевает M-симметрию, но не M ^* -симметрию. Поэтому кросс-симметрия не эквивалентна дуальной кросс-симметрии. Решетка с наименьшим элементом 0 является ⊥-симметричной, если для каждой модулярной пары ( a, b ), удовлетворяющей a ∧ b = 0, пара ( b, a ) также является модулярной.

История

Определение модульности принадлежит Рихарду Дедекинду , который опубликовал большинство соответствующих статей после выхода на пенсию. В статье, опубликованной в 1894 году ^{[ требуется ссылка ],} он изучал решетки, которые он назвал дуальными группами ( нем . Dualgruppen ) как часть своей «алгебры модулей », и заметил, что идеалы удовлетворяют тому, что мы сейчас называем модулярным законом. Он также заметил, что для решеток в целом модулярный закон эквивалентен своему дуальному.

В другой статье 1897 года Дедекинд изучал решетку делителей с операциями gcd и lcm, так что порядок решетки задается делимостью. ^[10] В отступлении он ввел и изучил решетки формально в общем контексте. ^[10]^{: 10–18} Он заметил, что решетка подмодулей модуля удовлетворяет модулярному тождеству. Он назвал такие решетки дуальными группами модульного типа ( Dualgruppen vom Modultypus ). Он также доказал, что модулярное тождество и его дуальное эквивалентны. ^[10]^{: 13}

В той же статье Дедекинд также исследовал следующую более сильную форму ^[10]^{: 14} модульного тождества, которая также является самодвойственной: ^[10]^{: 9}

( х ∧ б ) ∨ ( а ∧ б ) = [ х ∨ а ] ∧ б .

Он назвал решетки, которые удовлетворяют этому тождеству, дуальными группами идеального типа ( Dualgruppen vom Idealtypus ). ^[10]^{: 13} В современной литературе их чаще называют дистрибутивными решетками . Он привел примеры решетки, которая не является модульной, и модульной решетки, которая не является идеального типа. ^[10]^{: 14}

В статье, опубликованной Дедекиндом в 1900 году, решетки были центральной темой: он описал свободную модулярную решетку, образованную тремя элементами, решетку с 28 элементами (см. рисунок). ^[11]

Смотрите также

Модульный граф — класс графов, включающий диаграммы Хассе модульных решеток.
Решетка Юнга–Фибоначчи , бесконечная модульная решетка, определенная на строках цифр 1 и 2
Ортомодулярная решетка
Сверхразрешимая решетка
Группа Ивасава

Примечания

^ "Почему важны модульные решетки?". Mathematics Stack Exchange . Получено 2018-09-17 .
^ Для любой решетки верно следующее: $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land (a \lor b)$ . Кроме того, всякий раз, когда $a \leq b$ , то $a \lor b = b$ .
^ Blyth, TS (2005). "Модулярные решетки". Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Universitext. London: Springer. Теорема 4.4. doi :10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0.
^ Blyth, TS (2005). "Модулярные решетки". Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Universitext. London: Springer. стр. 65. doi :10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0.
^ В дистрибутивной решетке выполняется следующее: . Более того, закон поглощения верен для любой решетки. Подстановка этого для второго конъюнкта правой части предыдущего уравнения дает Модулярное Тождество. $(a\клин b)\vee (x\клин b)=((a\клин b)\vee x)\клин ((a\клин b)\vee b)$ $(a\wedge b)\vee b=b$
^ Дилворт, РП (1954), «Доказательство гипотезы о конечных модулярных решетках», Annals of Mathematics , Вторая серия, 60 (2): 359–364, doi :10.2307/1969639, JSTOR 1969639, MR 0063348. Перепечатано в Bogart, Kenneth P.; Freese, Ralph; Kung, Joseph PS, ред. (1990), "Доказательство гипотезы о конечных модулярных решетках", Теоремы Дилворта: Избранные статьи Роберта П. Дилворта , Contemporary Mathematicians, Бостон: Birkhäuser, стр. 219–224, doi :10.1007/978-1-4899-3558-8_21, ISBN 978-1-4899-3560-1
^ Французский термин для модулярной пары — couple modulaire . Пара ( a, b ) называется paire modulaire во французском языке, если обе ( a, b ) и ( b, a ) являются модульными парами.
^ Модульный элемент по-разному определялся разными авторами как правомодулярный (Stern (1999, стр. 74)), левомодулярный (Orlik & Terao (1992, Определение 2.25)), как лево-, так и правомодулярный (или дуально-правомодулярный) (Sagan (1999), Schmidt (1994, стр. 43)) или удовлетворяющий условию модульного ранга (Stanley (2007, Определение 4.12)). Эти понятия эквивалентны в полумодулярной решетке, но не в общем случае.
^ Некоторые авторы, например Фофанова (2001), называют такие решетки полумодулярными решетками . Поскольку каждая M-симметричная решетка является полумодулярной , а обратное справедливо для решеток конечной длины, это может привести только к путанице для бесконечных решеток.
^ abcdefg Дедекинд, Ричард (1897), «Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler» (PDF) , Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte в Брауншвейге , Фридрих Видег и Зон
^ Дедекинд, Ричард (1900), «Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe», Mathematische Annalen , 53 (3): 371–403, doi : 10.1007/BF01448979, S2CID 122529830

Ссылки

Корри, Лео (27.11.2003), Современная алгебра и возникновение математических структур (2-е изд.), стр. 121–129, ISBN 978-3-7643-7002-2
Фофанова, Т. С. (2001) [1994], "Полумодулярная решетка", Энциклопедия математики , Издательство EMS
Маэда, Сюитиро (1965), «О симметрии модульного отношения в атомных решетках», Научный журнал Хиросимского университета , 29 : 165–170
Орлик, Петр ; Терао, Хироаки (1992), Расположение гиперплоскостей , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 300, Шпрингер-Верлаг, адрес : 10.1007/978-3-662-02772-1
Рота, Джан-Карло (1997), «Множество жизней теории решеток» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 44 (11): 1440–1445, ISSN 0002-9920
Скорняков, Л. А. (2001) [1994], "Модулярная решетка", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
Саган, Брюс (1999), «Почему характеристические полиномиальные факторы», Бюллетень Американского математического общества , 36 (2): 113–133, arXiv : math/9812136 , doi : 10.1090/S0273-0979-99-00775-2
Шмидт, Роланд (1994), Решетки подгрупп групп , Изложения де Грюйтера по математике, том. 14, Уолтер де Грютер и компания, номер домена : 10.1515/9783110868647, ISBN 3-11-011213-2
Стэнли, Ричард П. (2007), «Введение в гиперплоскостные конфигурации», Геометрическая комбинаторика , IAS/Park City Mathematics Series, т. 13, Американское математическое общество, стр. 389–496, ISBN 978-0-8218-3736-8
Стерн, Манфред (1999), Полумодулярные решетки , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46105-4

Внешние ссылки

«Модулярная решетка». PlanetMath .
Последовательность OEIS A006981 (Число немаркированных модульных решеток с n элементами)
Бесплатный генератор модульных решеток Веб-приложение с открытым исходным кодом на основе браузера, которое может генерировать и визуализировать некоторые бесплатные модульные решетки.