Сокращения — это математический процесс, используемый для удаления подвыражений из математического выражения , когда это удаление не меняет смысла или значения выражения, поскольку подвыражения имеют равные и противоположные эффекты. [1] Например, дробь приводится к наименьшим множителям путем сокращения общих множителей числителя и знаменателя . [2] В качестве другого примера, если a × b = a × c , то мультипликативный член a может быть сокращен, если a ≠0, что приводит к эквивалентному выражению b = c ; это эквивалентно делению на a .
Если подвыражения не идентичны, то их все еще можно частично сократить. Например, в простом уравнении 3 + 2 y = 8 y обе стороны фактически содержат 2 y (потому что 8 y равно 2 y + 6 y ). Следовательно, 2 y с обеих сторон можно сократить, оставив 3 = 6 y , или y = 0,5. Это эквивалентно вычитанию 2 y из обеих сторон.
Иногда сокращение может вносить ограниченные изменения или дополнительные решения в уравнение . Например, учитывая неравенство ab ≥ 3 b , кажется, что b с обеих сторон можно сократить, чтобы получить a ≥ 3 в качестве решения. Но сокращение «наивно» таким образом будет означать, что мы не получим все решения (наборы ( a, b ), удовлетворяющие неравенству). Это происходит потому, что если бы b было отрицательным числом , то деление на отрицательное изменило бы отношение ≥ на отношение ≤. Например, хотя 2 больше 1, –2 меньше –1 . Кроме того, если бы b было нулем , то ноль, умноженный на что угодно, равен нулю, и сокращение означало бы деление на ноль в этом случае, что невозможно сделать. Таким образом, на самом деле, хотя сокращение работает, правильное сокращение приведет нас к трем наборам решений, а не только к одному, который мы думали, что у нас есть. Это также скажет нам, что наше «наивное» решение является решением только в некоторых случаях, а не во всех:
Поэтому может потребоваться некоторая осторожность, чтобы гарантировать, что сокращение выполняется правильно и никакие решения не пропущены или неверны. Наше простое неравенство имеет три набора решений, которые:
Наше «наивное» решение (что a ≥ 3) также иногда будет неверным. Например, если b = –5, то a = 4 не является решением, даже если 4 ≥ 3, потому что 4 × (–5) равно –20, а 3 x (–5) равно –15, а –20 не равно ≥ –15.
В более продвинутой математике сокращение может использоваться в контексте бесконечных рядов , члены которых могут быть сокращены для получения конечной суммы или сходящегося ряда . В этом случае часто используется термин телескопирование . Значительная осторожность и предотвращение ошибок часто необходимы для того, чтобы гарантировать, что измененное уравнение будет действительным, или для установления границ, в которых оно будет действительным, из-за природы таких рядов.
В вычислительной науке сокращение часто используется для повышения точности и сокращения времени выполнения численных алгоритмов .