Удельный момент импульса

Векторная величина в небесной механике

В небесной механике удельный относительный момент импульса (часто обозначаемый или ) тела — это момент импульса этого тела, деленный на его массу. ^[1] В случае двух вращающихся тел это векторное произведение их относительного положения и относительного линейного импульса , деленное на массу рассматриваемого тела. ${\displaystyle {\vec {h}}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

Удельный относительный угловой момент играет ключевую роль в анализе задачи двух тел , поскольку он остается постоянным для заданной орбиты в идеальных условиях. « Удельный » в этом контексте означает угловой момент на единицу массы. Единицей СИ для удельного относительного углового момента является квадратный метр в секунду.

Определение

Удельный относительный момент импульса определяется как векторное произведение вектора относительного положения и вектора относительной скорости . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{m}}}$$

где — вектор момента импульса, определяемый как . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

Вектор всегда перпендикулярен мгновенной оскулирующей орбитальной плоскости , которая совпадает с мгновенной возмущенной орбитой . Он не обязательно перпендикулярен средней орбитальной плоскости во времени. ${\displaystyle \mathbf {h} }$

Доказательство постоянства в случае двух тел

Вектор расстояния , вектор скорости , истинная аномалия и угол траектории полета на орбите вокруг . Также изображены наиболее важные меры эллипса ( среди которых, обратите внимание, что истинная аномалия обозначена как ). ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \nu }$

При определенных условиях можно доказать, что удельный момент импульса постоянен. Условия этого доказательства включают:

• Масса одного объекта намного больше массы другого. ( ) ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$
• Система координат инерциальная .
• Каждый объект можно рассматривать как сферически симметричную точечную массу .
• На систему не действуют никакие другие силы, кроме силы тяготения, которая соединяет два тела.

Доказательство

Доказательство начинается с уравнения движения двух тел , выведенного из закона всемирного тяготения Ньютона :

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

где:

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$— радиус-вектор от до со скалярной величиной . ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}}$является второй производной по времени от . ( ускорение ) ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle G}$Гравитационная постоянная .

Перекрестное произведение вектора положения и уравнения движения равно:

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

Поскольку второй член исчезает: ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {r} =0}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0}$$

Также можно сделать вывод, что: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}}$$

Объединение этих двух уравнений дает: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$

Поскольку производная по времени равна нулю, величина постоянна. Используя вектор скорости вместо скорости изменения положения, а для удельного момента импульса: является постоянной. ${\displaystyle \mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$ $${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$$

Это отличается от обычного построения импульса, поскольку не включает массу рассматриваемого объекта. ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

Законы движения планет Кеплера

Законы движения планет Кеплера можно доказать почти напрямую с помощью приведенных выше соотношений.

Первый закон

Доказательство снова начинается с уравнения задачи двух тел. На этот раз векторное произведение умножается на удельный относительный угловой момент $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\times \mathbf {h} }$$

Левая часть равна производной, поскольку момент импульса постоянен. ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)}$

После некоторых шагов (включая использование тройного векторного произведения и определение скаляра как радиальной скорости , а не нормы вектора ) правая часть становится: ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$ $${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {h} \right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {v} \right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}\mathbf {r} -{\frac {\mu }{r}}\mathbf {v} \right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}$$

Приравнивая эти два выражения и интегрируя по времени, получаем (с постоянной интегрирования ) ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} }$$

Теперь это уравнение умножается ( скалярное произведение ) на и переставляется ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)&=\mathbf {r} \cdot \left(\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} \right)\\\Rightarrow \left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {h} &=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}}$$

В итоге получаем уравнение орбиты ^[1] $${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}}$$

которое является уравнением конического сечения в полярных координатах с полушириной и эксцентриситетом . ${\textstyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$ ${\textstyle e={\frac {C}{\mu }}}$

Второй закон

Второй закон немедленно следует из второго из трех уравнений для расчета абсолютного значения удельного относительного момента импульса. ^[1]

Если связать эту форму уравнения с соотношением для площади сектора с бесконечно малым углом (треугольник с одной очень малой стороной), то уравнение ${\textstyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\,\mathrm {d} \theta }$ ${\textstyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ $${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\,\mathrm {d} A}$$

Третий закон

Третий закон Кеплера является прямым следствием второго закона. Интегрирование по одному обороту дает орбитальный период ^[1] $${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$$

для площади эллипса. Заменив малую полуось на и удельный относительный момент импульса на, получим ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$ ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$ $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$

Таким образом, между большой полуосью и периодом обращения спутника существует связь, которую можно свести к константе центрального тела.

Смотрите также

• Удельная орбитальная энергия — еще одна сохраняющаяся величина в задаче двух тел.
• Классическая задача центральной силы § Удельный момент импульса

Ссылки

1. Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложения (2-е изд.). Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. стр. 20–30. ISBN 0-7923-6903-3.