Инварианты Зайберга–Виттена

4-многообразные инварианты

В математике, и особенно в калибровочной теории , инварианты Зайберга–Виттена являются инвариантами компактных гладких ориентированных 4-многообразий, введенными Эдвардом Виттеном  (1994) с использованием теории Зайберга–Виттена , изученной Натаном Зайбергом и Виттеном  (1994a, 1994b) в ходе их исследований калибровочной теории Зайберга–Виттена .

Инварианты Зайберга–Виттена похожи на инварианты Дональдсона и могут быть использованы для доказательства похожих (но иногда немного более сильных) результатов о гладких 4-многообразиях. С ними технически гораздо проще работать, чем с инвариантами Дональдсона; например, пространства модулей решений уравнений Зайберга–Виттена, как правило, компактны, поэтому можно избежать сложных проблем, связанных с компактификацией пространств модулей в теории Дональдсона.

Подробное описание инвариантов Зайберга–Виттена см. в (Donaldson 1996), (Moore 2001), (Morgan 1996), (Nicolaescu 2000), (Scorpan 2005, Глава 10). О связи с симплектическими многообразиями и инвариантами Громова–Виттена см. в (Taubes 2000). О ранней истории см. в (Jackson 1995).

Вращатьсяс-структуры

Группа Spin ^c (в размерности 4) — это

${\displaystyle (U(1)\times \mathrm {Spin} (4))/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ).}$

где действует как знак на оба множителя. Группа имеет естественный гомоморфизм в SO(4) = Spin(4)/±1 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Для компактного ориентированного 4-многообразия выберем гладкую риманову метрику со связностью Леви-Чивиты . Это сводит структурную группу со связной компоненты GL(4) ₊ к SO(4) и безвредно с гомотопической точки зрения. Spin ^c -структура или комплексная спиновая структура на M является редукцией структурной группы к Spin ^c , т.е. подъемом структуры SO(4) на касательном расслоении к группе Spin ^c . По теореме Хирцебруха и Хопфа каждое гладкое ориентированное компактное 4-многообразие допускает структуру Spin ^c . ^[1] Существование структуры Spin ^c эквивалентно существованию подъема второго класса Штифеля–Уитни до класса Наоборот, такой подъем определяет структуру Spin ^c с точностью до 2 кручения в Собственно спиновая структура требует более ограничительного ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla ^{g}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle w_{2}(M)=0.}$

Структура Spin ^c определяет (и определяется) спинорным расслоением, происходящим из 2-мерного комплексного положительного и отрицательного спинорного представления Spin(4), на которое U(1) действует умножением. Мы имеем . Спинорное расслоение поставляется с градуированным представлением расслоения алгебры Клиффорда, т.е. отображением , таким что для каждой 1-формы мы имеем и . Существует уникальная эрмитова метрика на st, которая является косоэрмитовой для действительных 1-форм . Она дает индуцированное действие форм путем антисимметризации. В частности, это дает изоморфизм самодвойственных двух форм с бесследовыми косоэрмитовыми эндоморфизмами, которые затем идентифицируются. ${\displaystyle W=W^{+}\oplus W^{-}}$ ${\displaystyle K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \gamma :\mathrm {Cliff} (M,g)\to {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}(W)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \gamma (a):W^{\pm }\to W^{\mp }}$ ${\displaystyle \gamma (a)^{2}=-g(a,a)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \gamma (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}M}$ ${\displaystyle \wedge ^{+}M\cong {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}_{0}^{sh}(W^{+})}$ ${\displaystyle W^{+}}$

Уравнения Зайберга–Виттена

Пусть будет детерминантным линейным расслоением с . Для каждой связности с на существует уникальная спинорная связность на т.е. связность такая, что для каждой 1-формы и векторного поля . Связность Клиффорда тогда определяет оператор Дирака на . Группа отображений действует как калибровочная группа на множестве всех связностей на . Действие может быть «калибровочно фиксировано», например, условием , оставляя эффективную параметризацию пространства всех таких связностей с остаточным действием калибровочной группы. ${\displaystyle L=\det(W^{+})\equiv \det(W^{-})}$ ${\displaystyle c_{1}(L)=K}$ ${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$ ${\displaystyle A\in iA_{\mathbb {R} }^{1}(M)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \nabla ^{A}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \nabla _{X}^{A}(\gamma (a)):=[\nabla _{X}^{A},\gamma (a)]=\gamma (\nabla _{X}^{g}a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{A}=\gamma \otimes 1\circ \nabla ^{A}=\gamma (dx^{\mu })\nabla _{\mu }^{A}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{u:M\to U(1)\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle d^{*}A=0}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {R} )^{\mathrm {harm} }/H^{1}(M,\mathbb {Z} )\oplus d^{*}A_{\mathbb {R} }^{+}(M)}$ ${\displaystyle U(1)}$

Запишите для спинорного поля положительной хиральности, т.е. сечения . Уравнения Зайберга–Виттена для теперь имеют вид ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle W^{+}}$ ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$

${\displaystyle D^{A}\phi =0}$

${\displaystyle F_{A}^{+}=\sigma (\phi )+i\omega }$

Здесь — замкнутая кривизна 2-формы , — ее самодвойственная часть, а σ — квадратурное отображение из в бесследовый эрмитов эндоморфизм , отождествляемый с мнимой самодвойственной 2-формой, и — действительная самодвойственная 2-форма, часто принимаемая за нулевую или гармоническую. Калибровочная группа действует на пространстве решений. После добавления условия фиксации калибровки остаток U(1) действует свободно, за исключением «приводимых решений» с . По техническим причинам уравнения фактически определены в подходящих пространствах Соболева достаточно высокой регулярности. ${\displaystyle F^{A}\in iA_{\mathbb {R} }^{2}(M)}$ ${\displaystyle \nabla ^{A}}$ ${\displaystyle F_{A}^{+}}$ ${\displaystyle \phi \mapsto \left(\phi h(\phi ,-)-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\phi )1_{W^{+}}\right)}$ ${\displaystyle W^{+}}$ ${\displaystyle W^{+}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle d^{*}A=0}$ ${\displaystyle \phi =0}$

Применение формулы Вайценбека

${\displaystyle {\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi =(D^{A})^{2}\phi -({\tfrac {1}{2}}\gamma (F_{A}^{+})+s)\phi }$

и личность

${\displaystyle \Delta _{g}|\phi |_{h}^{2}=2h({\nabla ^{A}}^{*}\nabla ^{A}\phi ,\phi )-2|\nabla ^{A}\phi |_{g\otimes h}}$

к решениям уравнений дает равенство

${\displaystyle \Delta |\phi |^{2}+|\nabla ^{A}\phi |^{2}+{\tfrac {1}{4}}|\phi |^{4}=(-s)|\phi |^{2}-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\gamma (\omega )\phi )}$.

Если является максимальным , то это показывает, что для любого решения норма sup априори ограничена , причем граница зависит только от скалярной кривизны и самодвойственной формы . После добавления условия фиксации калибровки эллиптическая регулярность уравнения Дирака показывает, что решения на самом деле априори ограничены в нормах Соболева произвольной регулярности, что показывает, что все решения являются гладкими, и что пространство всех решений с точностью до калибровочной эквивалентности компактно. ${\displaystyle |\phi |^{2}}$ ${\displaystyle \Delta |\phi |^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle \|\phi \|_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \omega }$

Решения уравнений Зайберга–Виттена называются монополями , поскольку эти уравнения являются уравнениями поля безмассовых магнитных монополей на многообразии . ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})}$ ${\displaystyle M}$

Пространство модулей решений

Пространство решений подвергается действию калибровочной группы, а фактор этого действия называется пространством модулей монополей.

Пространство модулей обычно является многообразием. Для общих метрик после фиксации калибровки уравнения вырезают пространство решений трансверсально и, таким образом, определяют гладкое многообразие. Остаточная U(1) калибровочная группа U(1) с «фиксированной калибровкой» действует свободно, за исключением приводимых монополей, т.е. решений с . По теореме об индексе Атьи–Зингера пространство модулей конечномерно и имеет «виртуальную размерность» ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle (K^{2}-2\chi _{\mathrm {top} }(M)-3\operatorname {sign} (M))/4}$

что для общих метрик является фактическим измерением вдали от приводимых. Это означает, что пространство модулей в общем случае пусто, если виртуальное измерение отрицательно.

Для самодвойственной 2-формы приводимые решения имеют , и поэтому определяются связями на такими, что для некоторой антисамодвойственной 2-формы . По разложению Ходжа , поскольку замкнуто, единственным препятствием к решению этого уравнения для заданных и , является гармоническая часть и , а гармоническая часть или, что эквивалентно, класс когомологий (де Рама) формы кривизны , то есть . Таким образом, поскольку необходимым и достаточным условием приводимого решения является ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \nabla _{A}=\nabla _{0}+A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F_{0}+dA=i(\alpha +\omega )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle [F_{0}]=F_{0}^{\mathrm {harm} }=i(\omega ^{\mathrm {harm} }+\alpha ^{\mathrm {harm} })\in H^{2}(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K}$

${\displaystyle \omega ^{\mathrm {harm} }\in 2\pi K+{\mathcal {H}}^{-}\in H^{2}(X,\mathbb {R} )}$

где — пространство гармонических антисамодвойственных 2-форм. Двумерная форма является -допустимой, если это условие не выполняется, а решения обязательно неприводимы. В частности, для пространство модулей является (возможно, пустым) компактным многообразием для общих метрик и допустимым . Заметим, что если пространство -допустимых двумерных форм связно, тогда как если оно имеет две связные компоненты (камеры). Пространству модулей можно задать естественную ориентацию из ориентации на пространстве положительных гармонических 2-форм и первых когомологий. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{-}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle b^{+}\geq 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle b_{+}\geq 2}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle b_{+}=1}$

Априорная граница решений также дает априорные границы для . Таким образом, существует (при фиксированном ) только конечное число , и, следовательно , только конечное число структур Spin ^c с непустым пространством модулей. ${\displaystyle F^{\mathrm {harm} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

Инварианты Зайберга–Виттена

Инвариант Зайберга–Виттена четырехмерного многообразия M с b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2 является отображением из структур спина ^c на M в Z . Значение инварианта на структуре спина ^c проще всего определить, когда пространство модулей нульмерно (для общей метрики). В этом случае значение представляет собой число элементов пространства модулей, подсчитанное со знаками.

Инвариант Зайберга–Виттена можно определить и при b ₂ ⁺ ( M ) = 1, но тогда это зависит от выбора камеры.

Говорят, что многообразие M имеет простой тип , если инвариант Зайберга–Виттена исчезает всякий раз, когда ожидаемая размерность пространства модулей не равна нулю. Гипотеза простого типа утверждает, что если M односвязно и b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2, то многообразие имеет простой тип. Это верно для симплектических многообразий.

Если многообразие M имеет метрику положительной скалярной кривизны и b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2, то все инварианты Зайберга–Виттена многообразия M обращаются в нуль.

Если многообразие M является связной суммой двух многообразий, каждое из которых имеет b ₂ ⁺  ≥ 1, то все инварианты Зайберга–Виттена многообразия M равны нулю.

Если многообразие M односвязно и симплектично и b ₂ ⁺ ( M ) ≥ 2, то оно имеет спиновую ^c -структуру s , на которой инвариант Зайберга–Виттена равен 1. В частности, его нельзя разбить как связную сумму многообразий с b ₂ ⁺  ≥ 1.

Ссылки

1. Хирцебрух, Ф.; Хопф, Х. (1958). «Felder von Flächenelementen в 4-мерном Mannigfaltigkeiten». Математика. Энн. 136 (2): 156–172. дои : 10.1007/BF01362296. hdl : 21.11116/0000-0004-3A18-1 . S2CID  120557396.

• Дональдсон, Саймон К. (1996), «Уравнения Зайберга-Виттена и топология 4-многообразия», Бюллетень Американского математического общества , (NS), 33 (1): 45–70, doi : 10.1090/S0273-0979-96-00625-8 , MR  1339810
• Джексон, Аллин (1995), Революция в математике, архивировано из оригинала 26 апреля 2010 г.
• Морган, Джон В. (1996), Уравнения Зайберга–Виттена и их приложения к топологии гладких четырехмерных многообразий, Математические заметки, т. 44, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. viii+128, ISBN 978-0-691-02597-1, МР  1367507
• Мур, Джон Дуглас (2001), Лекции по инвариантам Зайберга-Виттена , Конспекты лекций по математике, том. 1629 (2-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, стр. viii+121, CiteSeerX  10.1.1.252.2658 , doi : 10.1007/BFb0092948, ISBN 978-3-540-41221-2, г-н  1830497
• Нэш, Ч. (2001) [1994], "Уравнения Зайберга-Виттена", Энциклопедия математики , EMS Press
• Николаеску, Ливиу И. (2000), Заметки о теории Зайберга-Виттена (PDF) , Graduate Studies in Mathematics , т. 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xviii+484, doi :10.1090/gsm/028, ISBN 978-0-8218-2145-9, г-н  1787219
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3749-8, г-н  2136212.
• Зайберг, Натан ; Виттен, Эдвард (1994a), «Электромагнитная дуальность, монопольная конденсация и ограничение в суперсимметричной теории Янга-Миллса при N=2», Nuclear Physics B , 426 (1): 19–52, arXiv : hep-th/9407087 , Bibcode : 1994NuPhB.426...19S, doi : 10.1016/0550-3213(94)90124-4, MR  1293681, S2CID  14361074; "Erratum", Ядерная физика B , 430 (2): 485–486, 1994, Bibcode : 1994NuPhB.430..485., doi : 10.1016/0550-3213(94)00449-8, MR  1303306
• Seiberg, N. ; Witten, E. (1994b), "Монополи, дуальность и нарушение киральной симметрии в N=2 суперсимметричной КХД", Nuclear Physics B , 431 (3): 484–550, arXiv : hep-th/9408099 , Bibcode :1994NuPhB.431..484S, doi :10.1016/0550-3213(94)90214-3, MR  1306869, S2CID  17584951
• Таубс, Клиффорд Генри (2000), Вентворт, Ричард (ред.), Инварианты Зайберга Виттена и Громова для симплектических 4-многообразий , First International Press Lecture Series, т. 2, Сомервилл, Массачусетс: International Press, стр. vi+401, ISBN 978-1-57146-061-5, г-н  1798809
• Witten, Edward (1994), "Монополи и четырехмерные многообразия", Mathematical Research Letters , 1 (6): 769–796, arXiv : hep-th/9411102 , Bibcode : 1994MRLet...1..769W, doi : 10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13, MR  1306021, S2CID  10611124, архивировано из оригинала 29.06.2013