Группа монстров Тарски

Тип бесконечной группы в теории групп

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа-монстр Тарского , названная в честь Альфреда Тарского , — это бесконечная группа G , такая, что каждая собственная подгруппа H из G , отличная от единичной подгруппы, является циклической группой порядка фиксированного простого числа p . Группа-монстр Тарского обязательно проста . В 1979 году Александр Ю. Ольшанский показал , что группы Тарского существуют, и что для каждого простого числа p > 10 ⁷⁵ существует p -группа Тарского . Они являются источником контрпримеров к гипотезам в теории групп , в первую очередь к проблеме Бернсайда и гипотезе фон Неймана .

Определение

Пусть — фиксированное простое число. Бесконечная группа называется группой-монстром Тарского, если каждая нетривиальная подгруппа (т. е. каждая подгруппа, отличная от 1 и самой G) имеет элементы. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Характеристики

• ${\displaystyle G}$обязательно конечно порожден. Фактически он порождается любыми двумя некоммутирующими элементами.
• ${\displaystyle G}$является простым. Если и есть любая подгруппа, отличная от подгруппы, то будет иметь элементы. ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ ${\displaystyle U\leq G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle NU}$ ${\displaystyle p^{2}}$
• Конструкция Ольшанского фактически показывает, что для каждого простого числа существует континуум неизоморфных групп монстров Тарского . ${\displaystyle p>10^{75}}$
• Группы монстров Тарского являются примерами неаменабельных групп, не содержащих свободных подгрупп .

Ссылки

• А. Ю. Ольшанский , Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Изв. мат. АН СССР, 16 (1981), 279–289; перевод Известий АН СССР, Сер. матем., 44 (1980), 309–321.
• А. Ю. Ольшанский , Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка, Алгебра и логика 21 (1983), 369–418; перевод Алгебра и логика 21 (1982), 553–618.
• Ольшанский, А. Ю. (1991), Геометрия определяющих соотношений в группах , Математика и ее приложения (советская серия), т. 70, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6