Морфизм схем

В алгебраической геометрии морфизм схем обобщает морфизм алгебраических многообразий так же, как схема обобщает алгебраическое многообразие . По определению, это морфизм в категории схем.

Морфизм алгебраических стеков обобщает морфизм схем.

Определение

По определению, морфизм схем — это просто морфизм локально окольцованных пространств . Изоморфизмы определяются соответственно.

Схема, по определению, имеет открытые аффинные карты, и, таким образом, морфизм схем также может быть описан в терминах таких карт (сравните определение морфизма многообразий ). ^[1] Пусть ƒ: X → Y — морфизм схем. Если x — точка X , то, поскольку ƒ непрерывна, существуют открытые аффинные подмножества U = Spec A множества X, содержащие x, и V = Spec B множества Y, такие, что ƒ( U ) ⊆ V . Тогда ƒ: U → V — морфизм аффинных схем и, таким образом, индуцируется некоторым кольцевым гомоморфизмом B → A (ср. #Аффинный случай.) Фактически, можно использовать это описание для «определения» морфизма схем; говорят, что ƒ: X → Y является морфизмом схем, если он локально индуцируется кольцевыми гомоморфизмами между координатными кольцами аффинных карт.

• Примечание : нежелательно определять морфизм схем как морфизм кольцевых пространств. Одна из тривиальных причин заключается в том, что существует пример морфизма кольцевого пространства между аффинными схемами, который не индуцируется гомоморфизмом колец (например, ^[2] морфизм кольцевых пространств:

  ${\displaystyle \operatorname {Spec} k(x)\to \operatorname {Spec} k[y]_{(y)}=\{\eta =(0),s=(y)\}}$

(что отправляет уникальную точку в s и что сопровождается .) Более концептуально, определение морфизма схем должно охватывать «локальную по Зарисскому природу» или локализацию колец ; ^[3] эта точка зрения (т. е. локально-окольцованное пространство) необходима для обобщения ( топоса ). ${\displaystyle k[y]_{(y)}\to k(x),\,y\mapsto x}$

Пусть f  : X → Y — морфизм схем с . Тогда для каждой точки x из X гомоморфизм на слоях: ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

является локальным кольцевым гомоморфизмом : т.е., и поэтому индуцирует инъективный гомоморфизм полей вычетов ${\displaystyle \phi ({\mathfrak {m}}_{f(x)})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}}$

${\displaystyle \phi :k(f(x))\hookrightarrow k(x)}$.

(На самом деле, φ отображает n -ю степень максимального идеала в n -ю степень максимального идеала и, таким образом, индуцирует отображение между кокасательными пространствами (Зарисского) .)

Для каждой схемы X существует естественный морфизм

${\displaystyle \theta :X\to \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),}$

который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда X является аффинным; θ получается склеиванием U → target, которые возникают из ограничений на открытые аффинные подмножества U из X. Этот факт можно также сформулировать следующим образом: для любой схемы X и кольца A существует естественная биекция:

${\displaystyle \operatorname {Mor} (X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} (A,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

(Доказательство: отображение справа налево является требуемой биекцией. Короче говоря, θ является присоединением.) ${\displaystyle \phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta }$

Более того, этот факт (сопряженное отношение) можно использовать для характеристики аффинной схемы : схема X является аффинной тогда и только тогда, когда для каждой схемы S естественное отображение

${\displaystyle \operatorname {Mor} (S,X)\to \operatorname {Hom} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))}$

является биективным. ^[4] (Доказательство: если отображения биективны, то и X изоморфно по лемме Йонеды ; обратное очевидно.) ${\displaystyle \operatorname {Mor} (-,X)\simeq \operatorname {Mor} (-,\operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Морфизм как относительная схема

Зафиксируем схему S , называемую базовой схемой . Тогда морфизм называется схемой над S или S -схемой; идея терминологии заключается в том, что это схема X вместе с отображением на базовую схему S. Например, векторное расслоение E → S над схемой S является S -схемой. ${\displaystyle p:X\to S}$

S - морфизм из p : X → S в q : Y → S — это морфизм ƒ: X → Y схем, такой что p = q ∘ ƒ. Если задана S -схема , рассматривая S как S -схему над собой посредством тождественного отображения, S -морфизм называется S -сечением или просто сечением . ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S\to X}$

Все S -схемы образуют категорию: объект в категории является S -схемой, а морфизм в категории является S -морфизмом. (Эта категория является категорией среза категории схем с базовым объектом S. )

Аффинный случай

Пусть — кольцевой гомоморфизм и пусть ${\displaystyle \varphi :B\to A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{a}:\operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} B,\\{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\end{cases}}}$

быть индуцированной картой. Тогда

• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$непрерывен. ^[5]
• Если является сюръективным, то является гомеоморфизмом на свой образ. ^[6] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{a}}$
• Для каждого идеала I из A , ^[7] ${\displaystyle {\overline {\varphi ^{a}(V(I))}}=V(\varphi ^{-1}(I)).}$
• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$имеет плотный образ тогда и только тогда, когда ядро ​​состоит из нильпотентных элементов. (Доказательство: предыдущая формула с I = 0.) В частности, когда B редуцирован, имеет плотный образ тогда и только тогда, когда является инъективным. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{a}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Пусть f : Spec A → Spec B — морфизм схем между аффинными схемами с отображением обратного проецирования : B → A. То, что это морфизм локально окольцованных пространств, переводится в следующее утверждение: если — точка Spec A , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x={\mathfrak {p}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{f(x)}=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}_{x})}$.

(Доказательство: В общем случае состоит из g в A , имеющего нулевой образ в поле вычетов k ( x ); то есть, он имеет образ в максимальном идеале . Таким образом, работая в локальных кольцах, . Если , то является единичным элементом и, следовательно, является единичным элементом.) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle g(f(x))=0\Rightarrow \varphi (g)\in \varphi ({\mathfrak {m}}_{f(x))})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}\Rightarrow g\in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$ ${\displaystyle g(f(x))\neq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \varphi (g)}$

Следовательно, каждый гомоморфизм колец B → A определяет морфизм схем Spec A → Spec B и, наоборот, все морфизмы между ними возникают таким образом.

Примеры

Основные

• Пусть R будет полем или Для каждой R -алгебры A , чтобы указать элемент A , скажем f в A , нужно задать гомоморфизм R -алгебры такой, что . Таким образом, . Если X является схемой над S = Spec R , то беря и используя тот факт, что Spec является правым сопряженным к глобальному функтору сечения, мы получаем , где . Обратите внимание, что равенство имеет место для колец. ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle R[t]\to A}$ ${\displaystyle t\mapsto f}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Hom} _{R-{\text{alg}}}(R[t],A)}$ ${\displaystyle A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ $${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {A} _{S}^{1})}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}$
• Аналогично, для любой S -схемы X существует идентификация мультипликативных групп: где — мультипликативная групповая схема. $${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {G} _{m})}$$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} (R[t,t^{-1}])}$
• Многие примеры морфизмов происходят из семейств, параметризованных некоторым базовым пространством. Например, является проективным морфизмом проективных многообразий, где базовое пространство параметризует квадрики в . $${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y][a,b,c]}{(ax^{2}+bxy+cy^{2})}}\right)\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [a,b,c])=\mathbb {P} _{a,b,c}^{2}}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Графический морфизм

Если задан морфизм схем над схемой S , то морфизм, индуцированный тождеством и f, называется графовым морфизмом f . Графовый морфизм тождества называется диагональным морфизмом . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$ ${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$

Типы морфизмов

Конечный тип

Морфизмы конечного типа являются одним из основных инструментов для построения семейств многообразий. Морфизм имеет конечный тип, если существует покрытие , такое, что слои могут быть покрыты конечным числом аффинных схем, превращающих индуцированные кольцевые морфизмы в морфизмы конечного типа . Типичным примером морфизма конечного типа является семейство схем. Например, ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A_{i})\to S}$ ${\displaystyle X\times _{S}\operatorname {Spec} (A_{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B_{ij})}$ ${\displaystyle A_{i}\to B_{ij}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{(x^{n}+zy^{n},z^{5}-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [z]}{(z^{5}-1)}}\right)}$

является морфизмом конечного типа. Простой не-пример морфизма конечного типа — это где — поле. Другой — бесконечное дизъюнктное объединение ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]))\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \coprod ^{\infty }X\to X}$

Закрытое погружение

Морфизм схем является замкнутым погружением , если выполняются следующие условия: ${\displaystyle i:Z\to X}$

1. ${\displaystyle i}$определяет гомеоморфизм на его образ ${\displaystyle Z}$
2. ${\displaystyle i^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$является сюръективным

Это условие эквивалентно следующему: для данного аффинного открытого пространства существует идеал такой, что ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=U\subseteq X}$ ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle i^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$

Примеры

Конечно, любой (градуированный) фактор определяет подсхему ( ). Рассмотрим квазиаффинную схему и подмножество -оси , содержащееся в . Тогда, если мы возьмем открытое подмножество, то идеальным пучком будет , тогда как на аффинном открытом идеала нет, поскольку подмножество не пересекает эту карту. ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,y^{-1}])}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,x^{-1}])}$

Раздельный

Разделенные морфизмы определяют семейства схем, которые являются «хаусдорфовыми». Например, если задан разделимый морфизм в ассоциированных аналитических пространствах, оба они являются хаусдорфовыми. Мы говорим, что морфизм схемы является разделяемым, если диагональный морфизм является замкнутым погружением. В топологии аналогичным условием для того, чтобы пространство было хаусдорфовым, является то, что диагональное множество ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )^{an}\to S(\mathbb {C} )^{an}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle \Delta _{X/S}:X\to X\times _{S}X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\in X\times X\}}$

является замкнутым подмножеством . Тем не менее, большинство схем не являются хаусдорфовыми как топологические пространства, поскольку топология Зарисского в общем случае сильно нехаусдорфова. ${\displaystyle X\times X}$

Примеры

Большинство морфизмов, встречающихся в теории схем, будут разделены. Например, рассмотрим аффинную схему

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

Поскольку схема продукта ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ).}$

${\displaystyle X\times _{\mathbb {C} }X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

идеал, определяющий диагональ, генерируется

${\displaystyle x\otimes 1-1\otimes x,y\otimes 1-1\otimes y}$

показывая, что диагональная схема является аффинной и замкнутой. Это же вычисление можно использовать, чтобы показать, что проективные схемы также являются разделенными.

Не примеры

Единственное, когда нужно быть осторожным, это когда вы склеиваете семейство схем. Например, если мы возьмем диаграмму включений

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\\&\searrow &\\&&\operatorname {Spec} (R[x])\\&\nearrow &\\\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\end{matrix}}}$

то мы получаем схемно-теоретический аналог классической линии с двумя началами.

Правильный

Морфизм называется собственным, если ${\displaystyle f:X\to S}$

1. он отделен
2. конечного типа
3. универсально закрытый

Последнее условие означает, что при заданном морфизме морфизм смены базы является замкнутым погружением. Большинство известных примеров собственных морфизмов на самом деле проективны; но примеры собственных многообразий, которые не являются проективными, можно найти с помощью торической геометрии . ${\displaystyle S'\to S}$ ${\displaystyle S'\times _{S}X}$

Проективный

Проективные морфизмы определяют семейства проективных многообразий над фиксированной базовой схемой. Обратите внимание, что существует два определения: определение Хартсхорнеса, которое утверждает, что морфизм называется проективным, если существует замкнутое погружение , и определение EGA, которое утверждает, что схема является проективной, если существует квазикогерентный -модуль конечного типа такой, что существует замкнутое погружение . Второе определение полезно, поскольку точная последовательность модулей может быть использована для определения проективных морфизмов. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle X\in {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$

Проективный морфизм над точкой

Проективный морфизм определяет проективную схему. Например, ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

определяет проективную кривую рода над . ${\displaystyle (n-1)(n-1)/2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Семейство проективных гиперповерхностей

Если мы допустим , то проективный морфизм ${\displaystyle S=\mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{S}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}{\left(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-tx_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\right)}}\right)\to S}$

определяет семейство многообразий Калаби-Яу, которые вырождаются.

Карандаш Лефшеца

Другим полезным классом примеров проективных морфизмов являются Лефшецевы карандаши: они являются проективными морфизмами над некоторым полем . Например, для гладких гиперповерхностей, определяемых однородными многочленами, существует проективный морфизм ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} _{k}^{1}=\operatorname {Proj} (k[s,t])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}\subseteq \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{\mathbb {P} ^{1}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf_{1}+tf_{2})}}\right)\to \mathbb {P} ^{1}}$

отдавая карандаш.

EGA проективный

Хороший классический пример проективной схемы — построение проективных морфизмов, которые факторизуются через рациональные свитки. Например, возьмем и векторное расслоение . Это можно использовать для построения -расслоения над . Если мы хотим построить проективный морфизм с помощью этого пучка, мы можем взять точную последовательность, например ${\displaystyle S=\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}(-d)\oplus {\mathcal {O}}_{S}(-e)\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

который определяет структурный пучок проективной схемы в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}}).}$

Плоский

Интуиция

Плоские морфизмы имеют алгебраическое определение, но имеют весьма конкретную геометрическую интерпретацию: плоские семейства соответствуют семействам многообразий, которые изменяются «непрерывно». Например,

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{(xy-t))}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

представляет собой семейство гладких аффинных квадратных кривых, которые вырождаются в нормальный пересекающийся дивизор

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\right)}$

в начале.

Характеристики

Одно важное свойство, которому должен удовлетворять плоский морфизм, заключается в том, что размеры волокон должны быть одинаковыми. Тогда простым примером не-плоского морфизма является раздутие, поскольку волокна являются либо точками, либо копиями некоторых . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Определение

Пусть будет морфизмом схем. Мы говорим, что является плоским в точке , если индуцированный морфизм дает точный функтор Тогда является плоским , если он является плоским в каждой точке . Он также является строго плоским, если является сюръективным морфизмом. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f(x)}\to {\mathcal {O}}_{x}}$ ${\displaystyle -\otimes _{{\mathcal {O}}_{f(x)}}{\mathcal {O}}_{x}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Непример

Используя нашу геометрическую интуицию, очевидно, что

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

не является плоским, так как волокно над ним , а остальные волокна являются просто точкой. Но мы также можем проверить это, используя определение с локальной алгеброй: Рассмотрим идеал, так как мы получаем морфизм локальной алгебры ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy)).}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {p}})=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}:\left(\mathbb {C} [x]\right)_{(x)}\to \left(\mathbb {C} [x,y]/(xy)\right)_{(x)}}$

Если мы тензорим

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [x]_{(x)}{\overset {\cdot x}{\longrightarrow }}\mathbb {C} [x]_{(x)}}$

с , карта ${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy)))_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

имеет ненулевое ядро ​​из-за обращения в нуль . Это показывает, что морфизм не является плоским. ${\displaystyle xy}$

Неразветвленный

Морфизм аффинных схем неразветвлен , если . Мы можем использовать это для общего случая морфизма схем . Мы говорим, что неразветвлен в , если существует аффинная открытая окрестность и аффинное открытое , такие что и Тогда морфизм неразветвлен, если он неразветвлен в каждой точке в . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle \Omega _{U/V}=0.}$ ${\displaystyle X}$

Геометрический пример

Одним из примеров морфизма, который является плоским и в общем случае неразветвленным, за исключением точки, является

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

Мы можем вычислить относительные дифференциалы, используя последовательность

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\otimes _{\mathbb {C} [t]}\mathbb {C} [t]dt\to \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dt\oplus {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(nx^{n-1}dx-dt)\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

показывающий

${\displaystyle \Omega _{X/Y}\cong \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\neq 0}$

если мы возьмем волокно , то морфизм разветвлен, поскольку ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \Omega _{X_{0}/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{x^{n}}}dx\right)/(x^{n-1}dx)}$

в противном случае мы имеем

${\displaystyle \Omega _{X_{\alpha }/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{n}-\alpha )}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(\alpha )}}dx\cong 0}$

показывая, что он не разветвлен нигде больше.

Этале

Морфизм схем называется эталь, если он плоский и неразветвленный. Это алгебро-геометрический аналог накрывающих пространств. Два основных примера, которые следует рассмотреть, — это накрывающие пространства и конечные сепарабельные расширения полей. Примеры в первом случае можно построить, рассматривая разветвленные накрытия и ограничиваясь неразветвленным локусом. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Морфизмы как точки

По определению, если X , S являются схемами (над некоторой базовой схемой или кольцом B ), то морфизм из S в X (над B ) является S -точкой X и можно записать:

${\displaystyle X(S)=\{f\mid f:S\to X{\text{ over }}B\}}$

для множества всех S -точек X . Это понятие обобщает понятие решений системы полиномиальных уравнений в классической алгебраической геометрии. Действительно, пусть X = Spec( A ) с . Для B -алгебры R задать R -точку X означает задать гомоморфизм алгебры A → R , что в свою очередь равносильно заданию гомоморфизма ${\displaystyle A=B[t_{1},\dots ,t_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$

${\displaystyle B[t_{1},\dots ,t_{n}]\to R,\,t_{i}\mapsto r_{i}}$

который убивает f _i 's. Таким образом, существует естественная идентификация:

${\displaystyle X(\operatorname {Spec} R)=\{(r_{1},\dots ,r_{n})\in R^{n}|f_{1}(r_{1},\dots ,r_{n})=\cdots =f_{m}(r_{1},\dots ,r_{n})=0\}.}$

Пример : Если X является S -схемой со структурным отображением π: X → S , то S -точка X (над S ) — это то же самое, что и сечение π.

В теории категорий лемма Йонеды гласит, что для данной категории C контравариантный функтор

${\displaystyle C\to {\mathcal {P}}(C)=\operatorname {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Sets} ),\,X\mapsto \operatorname {Mor} (-,X)}$

является полностью точным (где означает категорию предпучков на C ). Применяя лемму к C = категории схем над B , это говорит о том, что схема над B определяется своими различными точками. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(C)}$

Оказывается, на самом деле достаточно рассматривать S -точки только с аффинными схемами S , именно потому, что схемы и морфизмы между ними получаются склеиванием аффинных схем и морфизмов между ними. Из-за этого обычно пишут X ( R ) = X (Spec R ) и рассматривают X как функтор из категории коммутативных B -алгебр в Sets .

Пример : даны S -схемы X , Y со структурными картами p , q ,

${\displaystyle (X\times _{S}Y)(R)=X(R)\times _{S(R)}Y(R)=\{(x,y)\in X(R)\times Y(R)\mid p(x)=q(y)\}}$.

Пример : если B по-прежнему обозначает кольцо или схему, то для каждой B -схемы X существует естественная биекция

${\displaystyle \mathbf {P} _{B}^{n}(X)=}${классы изоморфизма линейных расслоений L на X вместе с n + 1 глобальными сечениями, порождающими L . };

на самом деле, сечения s _i из L определяют морфизм . (См. также Proj construction#Global Proj .) ${\displaystyle X\to \mathbf {P} _{B}^{n},\,x\mapsto (s_{0}(x):\dots :s_{n}(x))}$

Замечание : Вышеуказанная точка зрения (которая известна под названием функтор точек и принадлежит Гротендику) оказала значительное влияние на основы алгебраической геометрии. Например, работа с категориальнозначным (псевдо-)функтором вместо многозначного функтора приводит к понятию стека , что позволяет отслеживать морфизмы между точками (т. е. морфизмы между морфизмами).

Рациональная карта

Рациональное отображение схем определяется таким же образом для многообразий. Таким образом, рациональное отображение из редуцированной схемы X в разделенную схему Y является классом эквивалентности пары, состоящей из открытого плотного подмножества U из X и морфизма . Если X неприводимо, рациональная функция на X является, по определению, рациональным отображением из X в аффинную прямую или проективную прямую ${\displaystyle (U,f_{U})}$ ${\displaystyle f_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$

Рациональная карта является доминирующей тогда и только тогда, когда она отправляет общую точку в общую точку. ^[8]

Кольцевой гомоморфизм между функциональными полями не обязательно индуцирует доминантное рациональное отображение (даже просто рациональное отображение). ^[9] Например, Spec k [ x ] и Spec k ( x ) и имеют одно и то же функциональное поле (а именно, k ( x )), но не существует рационального отображения из первого во второе. Однако верно, что любое включение функциональных полей алгебраических многообразий индуцирует доминантное рациональное отображение (см. морфизм алгебраических многообразий#Свойства .)

Смотрите также

• Регулярное встраивание
• Конструируемое множество (топология)
• Универсальный гомеоморфизм

Примечания

1. Вакил 2014, Упражнение 6.3.C.
2. Вакил 2014, Упражнение 6.2.E.
3. Производная алгебраическая геометрия V: Структурированные пространства (PDF) , 22 февраля 2011 г., § 1.
4. Гротендик и Дьедонне 1960, Гл. I, Следствие 1.6.4.
5. Доказательство: для всех f из A. ${\displaystyle {\varphi ^{a}}^{-1}(D(f))=D(\varphi (f))}$
6. Гротендик и Дьедонне 1960, гл. I, следствие 1.2.4.
7. Гротендик и Дьедонне 1960, Гл. I, 1.2.2.3.
8. Вакил 2014, Упражнение 6.5.A
9. Вакил 2014, Абзац после упражнения 6.5.B

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Милн, Обзор алгебраической геометрии в алгебраических группах: Теория групповых схем конечного типа над полем.
• Вакил, Рави (30 декабря 2014 г.), Основы алгебраической геометрии (PDF) (черновая редакция)