Мультипликативно замкнутое множество

В абстрактной алгебре мультипликативно замкнутое множество ( или мультипликативное множество ) — это подмножество S кольца R, для которого выполняются следующие два условия: ^{[1] [2]}

• ${\displaystyle 1\in S}$,
• ${\displaystyle xy\in S}$для всех . ${\displaystyle x,y\in S}$

Другими словами, S замкнуто относительно взятия конечных произведений, включая пустое произведение 1. ^[3] Эквивалентно , мультипликативный набор является подмоноидом мультипликативного моноида кольца.

Мультипликативные множества особенно важны в коммутативной алгебре , где они используются для построения локализаций коммутативных колец.

Подмножество S кольца R называется насыщенным, если оно замкнуто относительно взятия делителей : т. е. всякий раз, когда произведение xy принадлежит S , элементы x и y также принадлежат S.

Примеры

Примеры мультипликативных множеств включают в себя:

• теоретико -множественное дополнение простого идеала в коммутативном кольце ;
• множество {1, x , x ² , x ³ , ...} , где x — элемент кольца;
• множество единиц кольца;
• множество неделителей нуля в кольце;
• 1 + I  для идеального I ;
• числа Жордана–Полиа , мультипликативное замыкание факториалов .

Характеристики

• Идеал P коммутативного кольца R является первичным тогда и только тогда, когда его дополнение R \ P мультипликативно замкнуто.
• Подмножество S является как насыщенным, так и мультипликативно замкнутым тогда и только тогда, когда S является дополнением объединения простых идеалов. ^[4] В частности, дополнение простого идеала является как насыщенным, так и мультипликативно замкнутым.
• Пересечение семейства мультипликативных множеств является мультипликативным множеством.
• Пересечение семейства насыщенных множеств является насыщенным.

Смотрите также

• Локализация кольца
• Правый знаменатель установлен

Примечания

1. Атья и Макдональд, с. 36.
2. Лэнг, стр. 107.
3. Эйзенбуд, стр. 59.
4. Капланский, стр. 2, Теорема 2.

Ссылки

• М. Ф. Атья и И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Эддисон-Уэсли, 1969.
• Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Springer, 1995.
• Капланский, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренное издание), Издательство Чикагского университета , MR  0345945
• Серж Ланг , Алгебра, 3-е изд., Springer, 2002.