Векторные сферические гармоники

Расширение скалярных сферических гармоник для использования с векторными полями

В математике векторные сферические гармоники ( VSH ) являются расширением скалярных сферических гармоник для использования с векторными полями . Компоненты VSH являются комплекснозначными функциями, выраженными в базисных векторах сферических координат .

Определение

Для определения VSH использовались несколько соглашений. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Мы следуем рекомендациям Барреры и др . Для заданной скалярной сферической гармоники Y _ℓm ( θ , φ ) мы определяем три VSH:

• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{\ell m}=Y_{\ell m}{\hat {\mathbf {r} }},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{\ell m}=r\nabla Y_{\ell m},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{\ell m}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{\ell m},}$

причем является единичным вектором вдоль радиального направления в сферических координатах и ​​вектором вдоль радиального направления с той же нормой, что и радиус, т. е . Радиальные факторы включены для того, чтобы гарантировать, что размеры VSH такие же, как у обычных сферических гармоник, и что VSH не зависят от радиальной сферической координаты. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$

Интерес этих новых векторных полей заключается в том, чтобы отделить радиальную зависимость от угловой при использовании сферических координат, так что векторное поле допускает мультипольное разложение.

$${\displaystyle \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(E_{\ell m}^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+E_{\ell m}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+E_{\ell m}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

Метки на компонентах отражают, что — радиальная составляющая векторного поля, а и — поперечные компоненты (относительно радиус-вектора ). ${\displaystyle E_{\ell m}^{r}}$ ${\displaystyle E_{\ell m}^{(1)}}$ ${\displaystyle E_{\ell m}^{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Основные свойства

Симметрия

Подобно скалярным сферическим гармоникам, VSH удовлетворяют

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*},\end{aligned}}}$$

что сокращает число независимых функций примерно вдвое. Звездочка указывает на комплексное сопряжение .

Ортогональность

VSH ортогональны обычным трехмерным способом в каждой точке : ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

Они также ортогональны в гильбертовом пространстве:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {Y} _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0.\end{aligned}}}$$

Дополнительный результат в одной точке (не сообщаемый в работе Барреры и др., 1985 г.) для всех : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \ell ,m,\ell ',m'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

Векторные мультипольные моменты

Соотношения ортогональности позволяют вычислить сферические мультипольные моменты векторного поля как

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\ell m}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(1)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(2)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega .\end{aligned}}}$$

Градиент скалярного поля

Учитывая мультипольное расширение скалярного поля

$${\displaystyle \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\phi _{\ell m}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}$$

мы можем выразить его градиент через VSH как

$${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {d\phi _{\ell m}}{dr}}\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {\phi _{\ell m}}{r}}\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right).}$$

Дивергенция

Для любого многополюсного поля имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}fY_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=0.\end{aligned}}}$$

Путем суперпозиции получаем дивергенцию любого векторного поля:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {dE_{\ell m}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{\ell m}^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)Y_{\ell m}.}$$

Мы видим, что составляющая на Φ _ℓm всегда является соленоидальной .

Завиток

Для любого многополюсного поля имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}f\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Путем суперпозиции получаем ротор любого векторного поля:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {dE_{\ell m}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{r}+{\frac {dE_{\ell m}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

Лапласиан

Действие оператора Лапласа разделяется следующим образом: ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$

$${\displaystyle \Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{\ell m}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{\ell m}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{\ell m},}$$где и ${\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell m}=\mathbf {Y} _{\ell m},\mathbf {\Psi } _{\ell m},\mathbf {\Phi } _{\ell m}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+\ell (\ell +1))\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{\ell m}&={\frac {2}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {Y} _{\ell m}-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Phi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Также обратите внимание, что это действие становится симметричным , т.е. недиагональные коэффициенты равны , для правильно нормализованного VSH. ${\textstyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$

Примеры

Визуализации реальных частей VSH. Нажмите, чтобы развернуть. ${\displaystyle \ell =1,2,3}$

Первые векторные сферические гармоники

• ${\displaystyle \ell =0}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{00}&={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {\Psi } _{00}&=\mathbf {0} ,\\\mathbf {\Phi } _{00}&=\mathbf {0} .\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \ell =1}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{11}&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \ell =2}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{20}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{22}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Psi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{21}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Phi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$

Выражения для отрицательных значений m получаются путем применения соотношений симметрии.

Приложения

Электродинамика

VSH особенно полезны при изучении многополюсных полей излучения . Например, магнитный многополюсник возникает из-за колебательного тока с угловой частотой и комплексной амплитудой. ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},}$$

и соответствующие электрические и магнитные поля можно записать как

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Подставляя в уравнения Максвелла, закон Гаусса автоматически удовлетворяется

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0,}$$

в то время как закон Фарадея разделяется как

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\dfrac {\ell (\ell +1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\{\dfrac {dE}{dr}}+{\dfrac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}.\end{cases}}}$$

Закон Гаусса для магнитного поля подразумевает

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}B^{(1)}=0,}$$

и уравнение Ампера-Максвелла дает

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.}$$

Таким образом, уравнения в частных производных были преобразованы в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Альтернативное определение

Угловая часть магнитных и электрических векторных сферических гармоник. Красные и зеленые стрелки показывают направление поля. Также представлены производящие скалярные функции, показаны только первые три порядка (диполи, квадруполи, октуполи).

Во многих приложениях векторные сферические гармоники определяются как фундаментальный набор решений векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах. ^{[6] [7]}

В этом случае векторные сферические гармоники генерируются скалярными функциями, которые являются решениями скалярного уравнения Гельмгольца с волновым вектором . Здесь — соответствующие полиномы Лежандра , а — любая из сферических функций Бесселя . ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}}$$ ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

Векторные сферические гармоники определяются как:

продольные гармоники

${\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}}$

магнитные гармоники

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$

электрические гармоники

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$

Здесь мы используем действительную угловую часть гармоники, где , но комплексные функции можно ввести таким же образом. ${\displaystyle m\geq 0}$

Введем обозначение . В компонентной форме векторные сферические гармоники записываются как: ${\displaystyle \rho =kr}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }}\\{{}-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$Радиальной части для магнитных гармоник нет. Для электрических гармоник радиальная часть убывает быстрее угловой, и для больших ею можно пренебречь. Мы также видим, что для электрических и магнитных гармоник угловые части одинаковы с точностью до перестановки полярных и азимутальных единичных векторов, поэтому для больших электрических и магнитных гармоник векторы равны по величине и перпендикулярны друг другу. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Продольные гармоники: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}(k,\mathbf {r} ){}=\qquad &{\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\\{}\mp {}&{\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

Ортогональность

Решения векторного уравнения Гельмгольца подчиняются следующим соотношениям ортогональности: ^[7] $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\end{aligned}}}$$

Все остальные интегралы по углам между различными функциями или функциями с различными индексами равны нулю.

Вращение и инверсия

Иллюстрация преобразования векторных сферических гармоник при вращениях. Видно, что они преобразуются так же, как и соответствующие скалярные функции.

При вращении векторные сферические гармоники преобразуются друг через друга таким же образом, как и соответствующие скалярные сферические функции , которые генерируют для определенного типа векторных гармоник. Например, если генерирующие функции являются обычными сферическими гармониками , то векторные гармоники также будут преобразованы через D-матрицы Вигнера ^{[8] [9] [10]} Поведение при вращениях одинаково для электрических, магнитных и продольных гармоник. $${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{M'=-J}^{J}[D_{MM'}^{(J)}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}$$

При инверсии электрические и продольные сферические гармоники ведут себя так же, как скалярные сферические функции, т.е. а магнитные имеют противоположную четность: $${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$ $${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$

Динамика жидкости

При расчете закона Стокса для сопротивления, оказываемого вязкой жидкостью на малую сферическую частицу, распределение скоростей подчиняется уравнениям Навье–Стокса без учета инерции, т. е.

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla \cdot \mathbf {v} ,\\\mathbf {0} &=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$

с граничными условиями

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{cases}\mathbf {0} &r=a,\\-\mathbf {U} _{0}&r\to \infty .\end{cases}}}$$

где U — относительная скорость частицы к жидкости вдали от частицы. В сферических координатах эта скорость на бесконечности может быть записана как

$${\displaystyle \mathbf {U} _{0}=U_{0}\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}\right)=U_{0}\left(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\Psi } _{10}\right).}$$

Последнее выражение предполагает разложение по сферическим гармоникам для скорости жидкости и давления

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(r)Y_{10},\\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{10}.\end{aligned}}}$$

Подстановка в уравнения Навье–Стокса приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов.

Интегральные отношения

Здесь используются следующие определения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$В случае, когда вместо являются сферическими функциями Бесселя , с помощью разложения по плоским волнам можно получить следующие интегральные соотношения: ^[11] ${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

В случае, когда — сферические функции Ганкеля, следует использовать другие формулы. ^{[12] [11]} Для векторных сферических гармоник получаются следующие соотношения: ${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$где индекс означает, что используются сферические функции Ганкеля. ${\textstyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}$ ${\displaystyle (3)}$

Смотрите также

• Сферические гармоники
• Спинорные сферические гармоники
• Сферические гармоники со спиновым весом
• Электромагнитное излучение
• Сферическая основа

Ссылки

1. Barrera, RG; Estevez, GA; Giraldo, J (1985-10-01). "Векторные сферические гармоники и их применение в магнитостатике". European Journal of Physics . 6 (4). IOP Publishing: 287–294. Bibcode :1985EJPh....6..287B. CiteSeerX  10.1.1.718.2001 . doi :10.1088/0143-0807/6/4/014. ISSN  0143-0807. S2CID  250894245.
2. Карраскаль, Б.; Эстевес, ГА; Ли, Пейлиан; Лоренцо, В. (1991-07-01). «Векторные сферические гармоники и их применение в классической электродинамике». European Journal of Physics . 12 (4). IOP Publishing: 184–191. Bibcode : 1991EJPh...12..184C. doi : 10.1088/0143-0807/12/4/007. ISSN  0143-0807. S2CID  250886412.
3. Хилл, Э. Л. (1954). «Теория векторных сферических гармоник» (PDF) . American Journal of Physics . 22 (4). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 211–214. Bibcode :1954AmJPh..22..211H. doi :10.1119/1.1933682. ISSN  0002-9505. S2CID  124182424. Архивировано из оригинала (PDF) 2020-04-12.
4. Weinberg, Erick J. (1994-01-15). "Монопольные векторные сферические гармоники". Physical Review D. 49 ( 2). Американское физическое общество (APS): 1086–1092. arXiv : hep-th/9308054 . Bibcode : 1994PhRvD..49.1086W. doi : 10.1103/physrevd.49.1086. ISSN  0556-2821. PMID  10017069. S2CID  6429605.
5. PM Morse и H. Feshbach, Методы теоретической физики, часть II , Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953)
6. Борен, Крейг Ф. и Дональд Р. Хаффман, Поглощение и рассеяние света малыми частицами, Нью-Йорк: Wiley, 1998, 530 стр., ISBN 0-471-29340-7 , ISBN 978-0-471-29340-8 (второе издание)  
7. Stratton, JA (1941). Электромагнитная теория . Нью-Йорк: McGraw-Hill.
8. Д. А. Варгалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, Наука, Ленинград (1975).
9. Чжан, Хуайонг; Хан, Ипин (2008). «Теорема сложения для сферических векторных волновых функций и ее применение к коэффициентам формы пучка». J. Opt. Soc. Am. B. 25 ( 2): 255–260. Bibcode :2008JOSAB..25..255Z. doi :10.1364/JOSAB.25.000255.
10. Стайн, Сеймур (1961). «Теоремы сложения для сферических волновых функций». Quarterly of Applied Mathematics . 19 (1): 15–24. doi :10.1090/qam/120407.
11. Stout, B. (2012). Popov, E (ред.). "Сферические гармонические решеточные суммы для решеток" (PDF) . Institut Fresnel, Universite d'Aix-Marseille 6. Решетки: теория и численные приложения.
12. Wittmann, RC (1988). «Операторы сферических волн и формулы перевода». IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 36 (8): 1078–1087. Bibcode : 1988ITAP...36.1078W. doi : 10.1109/8.7220.

Внешние ссылки

• Векторные сферические гармоники на сайте Mathworld Эрика Вайсштейна