Набор хирургических структур

В математике набор структур хирургии является основным объектом при изучении многообразий , гомотопически эквивалентных замкнутому многообразию X. Это понятие помогает ответить на вопрос, являются ли два гомотопически эквивалентных многообразия диффеоморфными (или PL-гомеоморфными или гомеоморфными ). Существуют различные версии набора структур в зависимости от категории (DIFF, PL или TOP) и того, учитывается ли кручение Уайтхеда или нет. ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$

Определение

Пусть X — замкнутое гладкое (или PL- или топологическое) многообразие размерности n. Назовем две гомотопические эквивалентности из замкнутых многообразий размерности в ( ) эквивалентными, если существует кобордизм вместе с отображением таким, что , и являются гомотопическими эквивалентностями. Структурное множество — это множество классов эквивалентности гомотопических эквивалентностей из замкнутых многообразий размерности n в X. Это множество имеет предпочтительную базовую точку: . ${\displaystyle f_{i}:M_{i}\to X}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i=0,1}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}(W;M_{0},M_{1})}$ ${\displaystyle (F;f_{0},f_{1}):(W;M_{0},M_{1})\to (X\times [0,1];X\times \{0\},X\times \{1\})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{h}(X)}$ ${\displaystyle f:M\to X}$ ${\displaystyle id:X\to X}$

Существует также версия, которая учитывает кручение Уайтхеда. Если мы потребуем в определении выше, чтобы гомотопические эквивалентности F и были простыми гомотопическими эквивалентностями, то мы получим простое структурное множество . ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$

Замечания

Обратите внимание, что в определении соответственно является h-кобордизмом соответственно s-кобордизмом . Используя теорему о s-кобордизме, мы получаем другое описание для простого структурного множества , при условии, что n>4: Простое структурное множество — это множество классов эквивалентности гомотопических эквивалентностей из замкнутых многообразий размерности n в X относительно следующего отношения эквивалентности. Две гомотопические эквивалентности (i=0,1) эквивалентны, если существует диффеоморфизм (или PL-гомеоморфизм, или гомеоморфизм) такой, что гомотопно . ${\displaystyle (W;M_{0},M_{1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{h}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$ ${\displaystyle f:M\to X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{i}:M_{i}\to X}$ ${\displaystyle g:M_{0}\to M_{1}}$ ${\displaystyle f_{1}\circ g}$ ${\displaystyle f_{0}}$

Пока мы имеем дело с дифференциальными многообразиями, в общем случае не существует канонической структуры группы на . Если мы имеем дело с топологическими многообразиями, то можно наделить предпочтительной структурой абелевой группы (см. главу 18 в книге Раницкого). ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$

Обратите внимание, что многообразие M диффеоморфно (или PL-гомеоморфно, или гомеоморфно) замкнутому многообразию X тогда и только тогда, когда существует простая гомотопическая эквивалентность , класс эквивалентности которой является базовой точкой в ​​. Необходима некоторая осторожность, поскольку может оказаться, что данная простая гомотопическая эквивалентность не гомотопна диффеоморфизму (или PL-гомеоморфизму, или гомеоморфизму), хотя M и X диффеоморфны (или PL-гомеоморфны, или гомеоморфны). Поэтому также необходимо изучить работу группы гомотопических классов простых самоэквивалентностей X на . ${\displaystyle \phi :M\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$ ${\displaystyle \phi :M\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$

Основным инструментом для вычисления простого структурного набора является точная последовательность операций .

Примеры

Топологические сферы: Обобщенная гипотеза Пуанкаре в топологической категории утверждает, что состоит только из базовой точки. Эта гипотеза была доказана Смейлом (n > 4), Фридманом (n = 4) и Перельманом (n = 3). ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(S^{n})}$

Экзотические сферы: классификация экзотических сфер Кервера и Милнора даёт для n > 4 (категория гладких). ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)}$

Ссылки

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия на односвязных многообразиях , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0358813
• Раницки, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, МР  2061749
• Wall, CTC (1999), Хирургия на компактных многообразиях , Математические обзоры и монографии, т. 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0942-6, г-н  1687388
• Раницки, Эндрю (1992), Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics 102, CUP, ISBN 0-521-42024-5, МР  1211640

Внешние ссылки

• Домашняя страница Эндрю Раницки
• Домашняя страница Шмуэля Вайнбергера