Виталий сет

Набор действительных чисел, не измеримых по Лебегу

В математике набор Витали — это элементарный пример набора действительных чисел , который не измерим по Лебегу , найденный Джузеппе Витали в 1905 году . ^[1] Теорема Витали — это теорема существования существования таких наборов. Каждое множество Витали несчетно , а множеств Витали несчетно . Доказательство их существования зависит от выбранной аксиомы .

Измеримые множества

Некоторые наборы имеют определенную «длину» или «массу». Например, считается, что интервал [0, 1] имеет длину 1; в более общем смысле считается , что интервал [ a , b ], a ≤ b имеет длину b  −  a . Если мы думаем о таких интервалах как о металлических стержнях с одинаковой плотностью, они также имеют четко определенную массу. Множество [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух интервалов длины один, поэтому мы принимаем его общую длину равной 2. С точки зрения массы у нас есть два стержня массы 1, поэтому общая масса равна 2.

Здесь возникает естественный вопрос: если E — произвольное подмножество реальной линии, имеет ли оно «массу» или «полную длину»? В качестве примера мы могли бы спросить, какова масса множества рациональных чисел между 0 и 1, учитывая, что масса интервала [0, 1] равна 1. Рациональные числа плотны в действительных числах, поэтому любое значение между и включая 0 и 1, может показаться разумным.

Однако наиболее близким обобщением к массе является сигма-аддитивность , которая приводит к мере Лебега . Он присваивает меру b − a интервалу [ a , b ], но присваивает меру 0 множеству рациональных чисел, поскольку оно счетно . Любое множество, имеющее четко определенную меру Лебега, называется «измеримым», но построение меры Лебега (например, с использованием теоремы Каратеодори о расширении ) не делает очевидным существование неизмеримых множеств. Ответ на этот вопрос включает в себя аксиому выбора .

Конструкция и доказательство

Множество Витали — это такое подмножество интервала действительных чисел , что для каждого действительного числа существует ровно одно число , являющееся рациональным числом . Множества Витали существуют потому, что рациональные числа образуют нормальную подгруппу действительных чисел при сложении , и это позволяет построить аддитивную факторгруппу этих двух групп, которая представляет собой группу, образованную смежными классами рациональных чисел как подгруппу действительных чисел. номера в дополнении. Эта группа состоит из непересекающихся «сдвинутых копий» в том смысле, что каждый элемент этой факторгруппы представляет собой набор формы для некоторого в . Несчетное число элементов разбиения на непересекающиеся множества, причем каждый элемент плотен в . Каждый элемент пересекается , и аксиома выбора гарантирует существование подмножества, содержащего ровно одного представителя каждого элемента . Образованное таким образом множество называется множеством Витали. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v-r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r+\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r+\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$

Каждое множество Витали несчетно и иррационально для любого . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v-u}$ ${\displaystyle u,v\in V,u\neq v}$

Неизмеримость

Возможное перечисление положительных рациональных чисел

Множество Витали неизмеримо. Чтобы показать это, мы предполагаем, что измеримо, и получаем противоречие. Пусть – перечисление рациональных чисел в (напомним, что рациональные числа счетны ). Из построения заметим, что переведенные множества попарно не пересекаются, и далее заметим, что ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots }$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$

${\displaystyle [0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2].}$

Чтобы увидеть первое включение, рассмотрим любое действительное число в и пусть будет представителем класса эквивалентности ; тогда для некоторого рационального числа , из которого следует, что находится в . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [r]}$ ${\displaystyle r-v=q_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V_{i}}$

Примените меру Лебега к этим включениям, используя сигма-аддитивность :

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3.}$

Поскольку мера Лебега трансляционно-инвариантна, и, следовательно, ${\displaystyle \lambda (V_{k})=\lambda (V)}$

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3.}$

Но это невозможно. Суммирование бесконечного числа копий константы дает либо ноль, либо бесконечность, в зависимости от того, равна ли константа нулю или положительному значению. Ни в том, ни в другом случае сумма не находится в . Так что в конце концов оно не могло быть измеримым, т. е. мера Лебега не должна определять никакого значения для . ${\displaystyle \lambda (V)}$ ${\displaystyle [1,3]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (V)}$

Характеристики

Ни один набор Виталия не обладает свойством Бэра . ^[2]

Модифицируя приведенное выше доказательство, можно показать, что каждое множество Витали имеет банахову меру 0. Это не создает никаких противоречий, поскольку банаховы меры не счетно-аддитивны, а только конечно-аддитивны.

Роль аксиомы выбора

Приведенное выше построение множеств Витали использует аксиому выбора . Возникает вопрос: нужна ли аксиома выбора для доказательства существования множеств, не измеримых по Лебегу? Ответ — да, при условии, что недоступные кардиналы согласуются с наиболее распространенной аксиоматизацией теории множеств, так называемой ZFC .

В 1964 году Роберт Соловей построил модель теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора, в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Это известно как модель Соловея . ^[3] В своем доказательстве Соловей предположил, что существование недоступных кардиналов согласуется с другими аксиомами теории множеств Цермело-Френкеля, т.е. не создает противоречий. Теоретики множеств широко полагают, что это предположение верно, но его невозможно доказать только с помощью ZFC. ^[4]

В 1980 году Сахарон Шелах доказал, что невозможно установить результат Соловея без его предположения о недоступных кардиналах. ^[4]

Смотрите также

• Парадокс Банаха – Тарского  – Геометрическая теорема
• Критерий Каратеодори  - необходимое и достаточное условие измеримого множества.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Неизмеримый набор  - Набор, которому нельзя присвоить значимый «объем».
• Внешняя мера  – Математическая функция
• Функция бесконечной четности  - булева функция, значение которой равно 1, если входной вектор имеет нечетное количество единиц.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта

Рекомендации

1. Виталий, Джузеппе (1905). «Суль проблема делла неправильной группы точек ди уна ретта». Болонья, Тип. Гамберини и Пармеджани .
2. Окстоби, Джон К. (1980), Мера и категория , Тексты для выпускников по математике, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90508-2. См. стр. 22.
3. Соловей, Роберт М. (1970), «Модель теории множеств, в которой каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу», Annals of Mathematics , Second Series, 92 (1): 1–56, doi : 10.2307/1970696, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970696, MR  0265151
4. Вагон, Стэн; Томкович, Гжегож (2016). Парадокс Банаха-Тарского (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 296–299.

Библиография

• Херлих, Хорст (2006). Аксиома выбора . Спрингер. п. 120. ИСБН 9783540309895.
• Виталий, Джузеппе (1905). «Суль проблема делла неправильной группы точек ди уна ретта». Болонья, Тип. Гамберини и Пармеджани .