Сумма клина

Сумма клина двух кругов

В топологии клиновая сумма представляет собой «одноточечное объединение» семейства топологических пространств . В частности, если X и Y являются точечными пространствами (т.е. топологическими пространствами с выделенными базовыми точками и ) , клиновая сумма X и Y является фактор-пространством дизъюнктного объединения X и Y по отождествлению ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}:}$ $${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim },}$$

где — замыкание эквивалентности отношения. В более общем смысле, предположим, что это индексированное семейство точечных пространств с базовыми точками. Сумма клина семейства определяется как: где — замыкание эквивалентности отношения. Другими словами, клиновая сумма — это объединение несколько пространств в одной точке. Это определение чувствительно к выбору базовых точек, если пространства не являются однородными . ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(x_{0},y_{0}\right)\right\}.}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}.}$ $${\displaystyle \bigvee _{i\in I}X_{i}=\coprod _{i\in I}X_{i}\;/{\sim },}$$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(p_{i},p_{j}\right):i,j\in I\right\}.}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$

Клин-сумма снова представляет собой точечное пространство, а бинарная операция ассоциативна и коммутативна (с точностью до гомеоморфизма).

Иногда сумму клина называют произведением клина , но это не то же самое, что внешнее произведение , которое также часто называют произведением клина.

Примеры

Клиновая сумма двух окружностей гомеоморфна пространству восьмерки . Клиновую сумму кругов часто называют букетом кругов , а клиновое произведение произвольных сфер часто называют букетом сфер . ${\displaystyle n}$

Общая конструкция в гомотопии состоит в том, чтобы идентифицировать все точки вдоль экватора -сферы . В результате появятся две копии сферы, соединенные в точке, которая была экватором: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ $${\displaystyle S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}.}$$

Пусть это карта , определяющая экватор до одной точки. Тогда сложение двух элементов -мерной гомотопической группы пространства в выделенной точке можно понимать как композицию и с : ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi :S^{n}\to S^{n}\vee S^{n},}$ ${\displaystyle f,g\in \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Psi }$ $${\displaystyle f+g=(f\vee g)\circ \Psi .}$$

Здесь представлены карты, которые переводят выделенную точку в точку. Обратите внимание, что выше используется клиновая сумма двух функций, что возможно именно потому, что они согласуются в точке, общей для клиновой суммы лежащих в основе пространств. ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ ${\displaystyle s_{0},}$

Категориальное описание

Клиновую сумму можно понимать как копроизведение в категории точечных пространств . Альтернативно, клиновую сумму можно рассматривать как выталкивание диаграммы в категории топологических пространств (где находится любое одноточечное пространство). ${\displaystyle X\leftarrow \{\bullet \}\to Y}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$

Характеристики

Теорема Ван Кампена дает определенные условия (которые обычно выполняются для пространств с хорошим поведением , таких как комплексы CW ), при которых фундаментальная группа клиновой суммы двух пространств и является свободным произведением фундаментальных групп и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Смотрите также

• Разбить продукт
• Гавайская серьга , топологическое пространство, напоминающее, но не то же самое, клиновую сумму счетного числа кругов.

Рекомендации

• Ротман, Джозеф. Введение в алгебраическую топологию , Springer, 2004, стр. 153. ISBN  0-387-96678-1.