Период возврата

Расчетное время повторения события

Период повторяемости , также известный как интервал повторения или интервал повторения , представляет собой среднее время или предполагаемое среднее время между такими событиями, как землетрясения , наводнения [ ^1] , оползни ^[2] или сбросы речных вод .

Это статистическое измерение, обычно основанное на исторических данных за длительный период, и обычно используемое для анализа рисков. Примерами являются принятие решения о том, следует ли разрешить проекту двигаться вперед в зоне определенного риска или проектирование структур, способных выдерживать события с определенным периодом повторяемости. Следующий анализ предполагает, что вероятность наступления события не меняется со временем и не зависит от прошлых событий.

Оценка периода возврата

Интервал повторения ${\displaystyle ={n+1 \over m}}$

n количество лет в отчете;

m — ранг наблюдаемых событий, расположенных в порядке убывания ^[3]

Для наводнений событие может быть измерено в терминах м ³ /с или высоты; для штормовых нагонов - в терминах высоты нагона, и аналогично для других событий. Это формула Вейбулла. ^{[4] : 12  [5] [ не пройдена проверка ]}

Период повторяемости как обратная величина ожидаемой частоты

Теоретический период повторения между событиями является обратной величиной средней частоты событий. Например, 10-летнее наводнение имеет 1/10 = 0,1 или 10% шанс быть превышенным в любой год, а 50-летнее наводнение имеет 0,02 или 2% шанс быть превышенным в любой год.

Это не означает, что 100-летнее наводнение будет происходить регулярно каждые 100 лет или только один раз в 100 лет. Несмотря на коннотации названия «период повторяемости». В любой заданный 100-летний период 100-летнее событие может произойти один, два, больше или не произойти вообще, и каждый исход имеет вероятность, которую можно вычислить следующим образом.

Кроме того, предполагаемый период повторения ниже является статистикой : он вычисляется из набора данных (наблюдений), в отличие от теоретического значения в идеализированном распределении. На самом деле никто не знает, что определенная или большая величина происходит с вероятностью 1%, известно только, что это наблюдалось ровно один раз в 100 лет.

Это различие имеет важное значение, поскольку существует мало наблюдений редких событий: например, если наблюдения охватывают период в 400 лет, то наиболее экстремальное событие (событие, происходящее каждые 400 лет по статистическому определению) может впоследствии быть классифицировано при более длительном наблюдении как 200-летнее событие (если сопоставимое событие происходит немедленно) или как 500-летнее событие (если сопоставимое событие не происходит в течение последующих 100 лет).

Кроме того, невозможно определить размер 1000-летнего события, основываясь только на таких записях, вместо этого необходимо использовать статистическую модель для прогнозирования величины такого (ненаблюдаемого) события. Даже если исторический интервал повторения намного меньше 1000 лет, если зафиксировано несколько менее серьезных событий аналогичного характера, использование такой модели, вероятно, предоставит полезную информацию для оценки будущего интервала повторения.

Распределение вероятностей

Хотелось бы иметь возможность интерпретировать период повторения в вероятностных моделях. Наиболее логичной интерпретацией для этого является принятие периода повторения в качестве скорости подсчета в распределении Пуассона, поскольку это математическое ожидание скорости появлений. Альтернативной интерпретацией является принятие его в качестве вероятности для ежегодного испытания Бернулли в биномиальном распределении . Это нежелательно, поскольку каждый год не представляет собой независимое испытание Бернулли, а является произвольной мерой времени. Этот вопрос в основном академический, поскольку полученные результаты будут схожи как при пуассоновской, так и при биномиальной интерпретации.

Пуассон

Функция массы вероятности распределения Пуассона равна

${\displaystyle P(r;t)={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \over r!}e^{-t/T}}$

где — количество событий, для которых рассчитывается вероятность, — интересующий период времени, — период повторения, — скорость подсчета. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu =1/T}$

Вероятность невозникновения можно получить, просто рассмотрев случай . Формула имеет вид ${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle P(r=0;t)=e^{-\mu t}=e^{-t/T}}$

Следовательно, вероятность превышения (т.е. вероятность того, что событие «сильнее», чем событие с периодом повторяемости, произойдет хотя бы один раз в течение интересующего периода времени) равна ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t>0;t)=1-P(t=0;t)=1-e^{-\mu t}=1-e^{-t/T}}$

Обратите внимание, что для любого события с периодом повторяемости вероятность превышения в пределах интервала, равного периоду повторяемости (т.е. ), не зависит от периода повторяемости и равна . Это означает, например, что существует 63,2% вероятность наводнения, превышающего 50-летний период повторяемости, в течение любого периода в 50 лет. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=T}$ ${\displaystyle 1-\exp(-1)\approx 63.2\%}$

Пример

Если период повторяемости события составляет 243 года ( ), то вероятность ровно одного события за десять лет составляет ${\textstyle T}$ ${\textstyle \mu =0.0041}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(r;t)&={\frac {(\mu t)^{r}}{r!}}e^{-\mu t}\\[6pt]P(r=1;t=10)&={\frac {(10/243)^{1}}{1!}}e^{-10/243}\approx 3.95\%\end{aligned}}}$

Биномиальный

В заданном периоде для единицы времени (например , ) вероятность заданного числа r событий периода повторяемости определяется биномиальным распределением следующим образом. ${\displaystyle n\times \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =1{\text{year}}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle P(X=r)={n \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}.}$

Это справедливо только в том случае, если вероятность более одного события за единицу времени равна нулю. Часто это близкое приближение, и в этом случае вероятности, полученные с помощью этой формулы, приблизительно справедливы. ${\displaystyle \tau }$

Если таким образом, то тогда ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,\mu \rightarrow 0}$ ${\displaystyle n\mu \rightarrow \lambda }$

${\displaystyle {\frac {n!}{(n-r)!r!}}\mu ^{r}(1-\mu )^{n-r}\rightarrow e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{r}}{r!}}.}$

Брать

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{T}}={m \over n+1}}$

где

T — интервал возврата

n — количество лет наблюдений.

m — количество зарегистрированных случаев рассматриваемого события

Пример

Учитывая, что период повторяемости события составляет 100 лет,

${\displaystyle p={1 \over 100}=0.01.}$

Таким образом, вероятность того, что такое событие произойдет ровно один раз в 10 последовательных лет, составляет:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=1)&={\binom {10}{1}}\times 0.01^{1}\times 0.99^{9}\\[4pt]&\approx 10\times 0.01\times 0.914\\[4pt]&\approx 0.0914\end{aligned}}}$

Анализ риска

Период повторяемости полезен для анализа рисков (например, естественного, внутреннего или гидрологического риска отказа). ^[6] При работе с ожиданиями от проектирования конструкции период повторяемости полезен для расчета рискованности конструкции.

Вероятность хотя бы одного события, которое превысит проектные пределы в течение ожидаемого срока службы конструкции, является дополнением к вероятности того, что не произойдет ни одного события, которое превысит проектные пределы.

Уравнение для оценки этого параметра имеет вид

${\displaystyle {\overline {R}}=1-\left(1-{1 \over T}\right)^{n}=1-(1-P(X\geq x_{T}))^{n}}$

где

${\displaystyle {1 \over T}=P(X\geq x_{T})}$— выражение вероятности наступления рассматриваемого события в течение года;

n — ожидаемый срок службы конструкции.

Смотрите также

• 100-летнее наводнение
• Анализ кумулятивной частоты
• Частота превышения
• Время пребывания

Ссылки

1. ASCE, Справочник по гидрологии Целевого комитета Группы управления D (1996). Справочник по гидрологии | Книги . doi :10.1061/9780784401385. ISBN 978-0-7844-0138-5.
2. Перес, DJ; Кансельер, A. (2016-10-01). «Оценка периода повторения оползня, вызывающего симуляцию Монте-Карло». Журнал гидрологии . Внезапные наводнения, гидрогеоморфологическая реакция и управление рисками. 541 : 256–271. Bibcode :2016JHyd..541..256P. doi :10.1016/j.jhydrol.2016.03.036.
3. Кумар, Раджниш; Бхардвадж, Анил (2015). «Анализ вероятности периода повторяемости суточного максимального количества осадков в годовом наборе данных по Лудхиане, Пенджаб». Индийский журнал сельскохозяйственных исследований . 49 (2): 160. doi :10.5958/0976-058X.2015.00023.2. ISSN  0367-8245.
4. Национальная служба охраны ресурсов (август 2007 г.). «Глава 5: Гидрология рек». Национальный инженерный справочник, часть 654: Проектирование восстановления рек . Вашингтон, округ Колумбия: Министерство сельского хозяйства США . Получено 7 февраля 2023 г.
5. Аноним (2014-11-07). "Справочник по оценке наводнений". Центр экологии и гидрологии Великобритании . Получено 2019-12-21 .
6. Водные ресурсы, издание 2005 г., John Wiley & Sons, Inc., 2005.