В теории множеств наследственное множество ( или чистое множество ) — это множество , все элементы которого являются наследственными множествами. То есть все элементы множества сами являются множествами, как и все элементы элементов, и так далее.
Например, пусто истиной является утверждение , что пустое множество является наследственным множеством, и, таким образом, множество , содержащее только пустое множество , является наследственным множеством. Аналогично, множество , содержащее два элемента: пустое множество и множество, содержащее только пустое множество, является наследственным множеством.
В формулировках теории множеств, которые предназначены для интерпретации во вселенной фон Неймана или для выражения содержания теории множеств Цермело–Френкеля , все множества являются наследственными, поскольку единственный вид объекта, который является кандидатом на роль элемента множества, — это другое множество. Таким образом, понятие наследственного множества интересно только в контексте, в котором могут быть праэлементы .
Индуктивное определение наследственных множеств предполагает, что членство в множестве является обоснованным (т. е. аксиома регулярности ), в противном случае повторение может не иметь единственного решения. Однако его можно переформулировать неиндуктивно следующим образом: множество является наследственным тогда и только тогда, когда его транзитивное замыкание содержит только множества. Таким образом, понятие наследственных множеств может быть распространено и на необоснованные теории множеств , в которых множества могут быть членами самих себя. Например, множество, которое содержит только себя, является наследственным множеством.
