граничное условие Коши

Краевая задача в дифференциальных уравнениях

В математике граничное условие Коши ( французский: [ koʃi] ) дополняет обыкновенное дифференциальное уравнение или уравнение в частных производных условиями, которым решение должно удовлетворять на границе; в идеале, чтобы гарантировать существование единственного решения. Граничное условие Коши определяет как значение функции, так и нормальную производную на границе области . Это соответствует наложению как граничного условия Дирихле , так и граничного условия Неймана . Оно названо в честь плодовитого французского математического аналитика 19-го века Огюстена-Луи Коши .

Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Граничные условия Коши просты и распространены в обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка ,

${\displaystyle y''(s)=f{\big (}y(s),y'(s),s{\big )},}$

где, чтобы гарантировать существование единственного решения, можно указать значение функции и значение производной в заданной точке , т.е. ${\displaystyle y(s)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle s=a}$

${\displaystyle y(a)=\alpha ,}$

и

${\displaystyle y'(a)=\beta ,}$

где — граничная или начальная точка. Поскольку параметром обычно является время, условия Коши также можно называть начальными условиями или данными начальных значений или просто данными Коши . Примером такой ситуации являются законы движения Ньютона, где ускорение зависит от положения , скорости и времени ; здесь данные Коши соответствуют знанию начального положения и скорости. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y''}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle s}$

Уравнения с частными производными

Для дифференциальных уравнений с частными производными граничные условия Коши определяют как функцию, так и нормальную производную на границе. Чтобы сделать вещи простыми и конкретными, рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка на плоскости

${\displaystyle A(x,y)\psi _{xx}+B(x,y)\psi _{xy}+C(x,y)\psi _{yy}=F(x,y,\psi ,\psi _{x},\psi _{y}),}$

где — неизвестное решение, обозначает производную по и т. д. Функции задают задачу. ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \psi _{x}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,B,C,F}$

Теперь мы ищем , которое удовлетворяет частному дифференциальному уравнению в области , которая является подмножеством плоскости , и такое, что граничные условия Коши ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \psi (x,y)=\alpha (x,y),\quad \mathbf {n} \cdot \nabla \psi =\beta (x,y)}$

справедливо для всех граничных точек . Здесь — производная по направлению нормали к границе. Функции и — данные Коши. ${\displaystyle (x,y)\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \nabla \psi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Обратите внимание на разницу между граничным условием Коши и граничным условием Робина . В первом случае мы указываем как функцию, так и нормальную производную. Во втором случае мы указываем средневзвешенное значение этих двух.

Мы хотели бы, чтобы граничные условия гарантировали существование только одного (уникального) решения, но для уравнений в частных производных второго порядка не так просто гарантировать существование и единственность, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные Коши наиболее непосредственно относятся к гиперболическим задачам (например, волновому уравнению ) в открытых областях (например, полуплоскости). ^[1]

Смотрите также

• Граничное условие Дирихле
• Смешанное граничное условие
• граничное условие Неймана
• граничное условие Робина

Ссылки

1. Райли, К. Ф.; Хобсон, М. П.; Бенс, С. Дж. (13 марта 2006 г.). Математические методы для физики и техники . стр. 705. ISBN 978-0-521-67971-8.