Начертательная геометрия — это раздел геометрии , который позволяет представлять трехмерные объекты в двух измерениях с помощью определенного набора процедур. Полученные методы важны для инженерии , архитектуры , дизайна и искусства . [1] Теоретическая основа начертательной геометрии обеспечивается плоскими геометрическими проекциями . Самая ранняя известная публикация по этой технике была «Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt» ( Наблюдение за измерением с помощью циркуля и уровня ), опубликованная в Linien, Нюрнберг: 1525, Альбрехтом Дюрером . Итальянский архитектор Гварино Гварини также был пионером проективной и начертательной геометрии, как это ясно из его Placita Philosophica (1665), Euclides Adauctus (1671) и Architettura Civile (1686 — не опубликовано до 1737), предвосхищая работу Гаспара Монжа (1746–1818), которому обычно приписывают изобретение начертательной геометрии. [2] [3] Гаспара Монжа обычно считают «отцом начертательной геометрии» из-за его разработок в решении геометрических задач. Его первые открытия были сделаны в 1765 году, когда он работал чертежником военных укреплений, хотя его выводы были опубликованы позже. [4]
Протоколы Монжа позволяют рисовать воображаемый объект таким образом, чтобы его можно было смоделировать в трех измерениях. Все геометрические аспекты воображаемого объекта учитываются в истинном размере/масштабе и форме и могут быть изображены так, как они видны из любой точки пространства. Все изображения представлены на двухмерной поверхности.
Начертательная геометрия использует технику создания изображения воображаемыми параллельными проекторами, исходящими из воображаемого объекта и пересекающими воображаемую плоскость проекции под прямым углом. Совокупность точек пересечения создает желаемое изображение.
Помимо ортогонального, шести стандартных основных видов (спереди; справа; слева; сверху; снизу; сзади), начертательная геометрия стремится дать четыре основных вида решения: истинную длину линии (т. е. в полный размер, не в ракурсе), вид точки (концевой вид) линии, истинную форму плоскости (т. е. в полный размер в масштабе или не в ракурсе) и вид с ребра плоскости (т. е. вид плоскости с линией зрения, перпендикулярной линии зрения, связанной с линией зрения для получения истинной формы плоскости). Они часто служат для определения направления проекции для последующего вида. С помощью 90° обходного процесса пошагового проектирования проецирование в любом направлении от точки зрения линии дает ее истинный вид длины ; проецирование в направлении, параллельном виду линии истинной длины, дает ее точечный вид, проецирование вида точки любой линии на плоскость дает вид с ребра плоскости; проецирование в направлении, перпендикулярном виду с ребра плоскости, даст вид с истинной формой (в масштабе). Эти различные представления могут быть использованы для решения инженерных проблем, возникающих в связи с принципами стереометрии.
Изучение начертательной геометрии имеет эвристическую ценность. Оно способствует развитию визуализации и пространственных аналитических способностей, а также интуитивной способности распознавать направление взгляда для наилучшего представления геометрической проблемы для решения. Характерные примеры:
Стандарт представления компьютерных видов моделирования, аналогичных ортографическим, последовательным проекциям, пока не принят. Один из кандидатов на это представлен на иллюстрациях ниже. Изображения на иллюстрациях были созданы с использованием трехмерной инженерной компьютерной графики.
Трехмерное компьютерное моделирование создает виртуальное пространство "за трубой", так сказать, и может создавать любой вид модели с любого направления в пределах этого виртуального пространства. Это происходит без необходимости в смежных ортографических видах и поэтому может показаться, что обходной, пошаговый протокол начертательной геометрии устарел. Однако, поскольку начертательная геометрия является наукой о законном или допустимом изображении трехмерного или более размерного пространства на плоской плоскости, это незаменимое исследование для расширения возможностей компьютерного моделирования.
Учитывая координаты X, Y и Z точек P, R, S и U, проекции 1 и 2 нарисованы в масштабе на плоскостях XY и XZ соответственно.
Чтобы получить истинный вид (длина в проекции равна длине в трехмерном пространстве) одной из линий: SU в этом примере, проекция 3 рисуется с линией шарнира H 2,3 параллельно S 2 U 2 . Чтобы получить вид с торца SU, проекция 4 рисуется с линией шарнира H 3,4 перпендикулярно S 3 U 3 . Перпендикулярное расстояние d дает кратчайшее расстояние между PR и SU.
Чтобы получить точки Q и T на этих линиях, дающих это кратчайшее расстояние, проекция 5 рисуется с линией шарнира H 4,5 параллельно P 4 R 4 , делая P 5 R 5 и S 5 U 5 истинными видами (любая проекция конечного вида является истинным видом). Проецирование пересечения этих линий, Q 5 и T 5 обратно на проекцию 1 (линии и метки пурпурного цвета) позволяет считывать их координаты с осей X, Y и Z.
Общие решения — это класс решений в начертательной геометрии, которые содержат все возможные решения задачи. Общее решение представлено одним трехмерным объектом, обычно конусом, направления элементов которого являются желаемым направлением просмотра (проекцией) для любого из бесконечного числа видов решения.
Например: найти общее решение, при котором появляются две неравные по длине скрещивающиеся прямые в общих положениях (например, ракеты в полете?):
В примерах общее решение для каждого желаемого характеристического решения представляет собой конус, каждый элемент которого производит один из бесконечного числа видов решения. Когда две или более характеристик, скажем, перечисленных выше, желательны (и для которых существует решение), проецирование в направлении любого из двух элементов пересечений (один элемент, если конусы касаются) между двумя конусами производит желаемый вид решения. Если конусы не пересекаются, решения не существует. Примеры ниже аннотированы, чтобы показать описательные геометрические принципы, используемые в решениях. TL = True-Length; EV = Edge View.
На рисунках 1–3 ниже показаны (1) начертательная геометрия, общие решения и (2) одновременно потенциальный стандарт для представления таких решений в ортогональных, многовидовых форматах макета.
Потенциальный стандарт использует два смежных стандартных ортогональных вида (здесь спереди и сверху) со стандартной «линией сгиба» между ними. Поскольку нет последующей необходимости «обходить» объект на 90° в стандартных двухшаговых последовательностях, чтобы прийти к виду решения (можно перейти непосредственно к виду решения), этот более короткий протокол учитывается в макете. Там, где одношаговый протокол заменяет двухшаговый протокол, используются линии «двойного сгиба». Другими словами, когда кто-то пересекает двойные линии, он не совершает обходной поворот на 90°, а неортогональный поворот непосредственно к виду решения. Поскольку большинство пакетов инженерной компьютерной графики автоматически генерируют шесть основных видов модели стеклянного ящика, а также изометрический вид, эти виды иногда добавляются из эвристического любопытства.
