Малоугловые аппроксимации можно использовать для аппроксимации значений основных тригонометрических функций при условии, что рассматриваемый угол мал и измеряется в радианах :
Эти приближения имеют широкий спектр применения в областях физики и техники , включая механику , электромагнетизм , оптику , картографию , астрономию и информатику . [1] [2] Одна из причин этого заключается в том, что они могут значительно упростить дифференциальные уравнения , на которые не нужно отвечать с абсолютной точностью.
Существует несколько способов продемонстрировать справедливость малоугловых приближений. Самый прямой метод — усечь ряд Маклорена для каждой из тригонометрических функций. В зависимости от порядка аппроксимации аппроксимируется как или как . [3]
Точность аппроксимации можно увидеть ниже на рисунках 1 и 2. Когда величина угла приближается к нулю, разница между аппроксимацией и исходной функцией также приближается к 0.
Красный участок справа, d , представляет собой разницу между длинами гипотенузы H и прилежащей стороны A. Как показано, H и A почти одинаковой длины, что означает, что cos θ близок к 1 иθ 2/2помогает убрать красный цвет.
Противоположный катет O примерно равен длине синей дуги s . Сбор фактов из геометрии, s = Aθ , из тригонометрии, sin θ =О/ЧАСи tan θ =О/А, а из рисунка O ≈ s и H ≈ A приводит к:
Упрощение листьев,
Используя теорему о сжатии , [4] можно доказать, что
Более внимательное применение теоремы о сжатии доказывает, что
Наконец, правило Лопиталя говорит нам, что
Разложение Маклорена (разложение Тейлора около 0) соответствующей тригонометрической функции имеет вид [5]
Легко видеть, что второй по значимости член (третьего порядка) выпадает как куб первого члена; таким образом, даже для не такого уж маленького аргумента, такого как 0,01, значение второго наиболее значимого члена имеет порядок0,000 001 или1/10 000первый срок. Таким образом, можно безопасно аппроксимировать:
В более широком смысле, поскольку косинус небольшого угла очень близок к 1, а тангенс определяется как синус, разделенный на косинус,
Используя ряд Маклорена косинуса и синуса и подставляя его в θ=θε, где ε — это символ, используемый в двойных числах, часто считающихся похожими на бесконечно малую величину, с квадратом 0, в результате получается, что cos(θε)=1 и грех(θε)=θε. Эти приближения удовлетворяют тождеству Пифагора, поскольку cos²(θε)+sin²(θε)=1²+(θε)²=1+θ²ε²=1+θ²0=1.
На рис. 3 показаны относительные погрешности малоугловых аппроксимаций. Углы, при которых относительная погрешность превышает 1%, следующие:
Теоремы сложения и вычитания углов сводятся к следующему, когда один из углов мал ( β ≈ 0):
В астрономии угловой размер или угол изображения удаленного объекта часто составляет всего несколько угловых секунд , поэтому он хорошо подходит для приближения малого угла. [6] Линейный размер ( D ) связан с угловым размером ( X ) и расстоянием от наблюдателя ( d ) по простой формуле:
где X измеряется в угловых секундах.
Номер206 265 примерно равно количеству угловых секунд в круге (1 296 000 ), разделенный на 2π , или количество угловых секунд в 1 радиане.
Точная формула
и приведенное выше приближение следует, когда tan X заменяется на X .
Приближение косинуса второго порядка особенно полезно при вычислении потенциальной энергии маятника , которую затем можно применить с помощью лагранжиана для нахождения косвенного (энергетического) уравнения движения.
При расчете периода простого маятника используется малоугловое приближение синуса, чтобы можно было легко решить полученное дифференциальное уравнение путем сравнения с дифференциальным уравнением, описывающим простое гармоническое движение .
В оптике малоугловые приближения составляют основу параксиального приближения .
Аппроксимации синусоидального и касательного малого угла используются в отношении эксперимента с двумя щелями или дифракционной решетки для упрощения уравнений, например, «расстояние между полосами» = «длина волны» × «расстояние от щели до экрана» ÷ «расстояние между щелями». [7]
Приближение малого угла также появляется в строительной механике, особенно в анализе устойчивости и бифуркации (в основном для колонн с осевой нагрузкой, готовых подвергнуться потере устойчивости ). Это приводит к значительным упрощениям, хотя и за счет точности и понимания истинного поведения.
Правило 1 из 60 , используемое в аэронавигации, основано на приближении малого угла, а также на том факте, что один радиан равен примерно 60 градусам.
Формулы сложения и вычитания с небольшим углом можно использовать для интерполяции между значениями тригонометрической таблицы :
Пример: грех(0,755)