Уравнения мелкой воды

Set of partial differential equations that describe the flow below a pressure surface in a fluid

Выходные данные модели воды в ванне, основанной на уравнении мелкой воды. Вода испытывает пять брызг, которые создают поверхностные гравитационные волны, которые распространяются от мест брызг и отражаются от стенок ванны.

Уравнения мелкой воды ( SWE ) представляют собой набор гиперболических уравнений в частных производных (или параболических, если рассматривается вязкий сдвиг), которые описывают поток под поверхностью давления в жидкости (иногда, но не обязательно, свободной поверхностью ). ^[1] Уравнения мелкой воды в однонаправленной форме также называются уравнениями Сен-Венана в честь Адемара Жан-Клода Барре де Сен-Венана (см. соответствующий раздел ниже).

Уравнения получены ^[2] путем интегрирования по глубине уравнений Навье – Стокса в случае, когда горизонтальный масштаб длины намного больше, чем вертикальный масштаб длины. При этом условии сохранение массы означает, что масштаб вертикальной скорости жидкости мал по сравнению с масштабом горизонтальной скорости. Из уравнения количества движения можно показать, что вертикальные градиенты давления почти гидростатические и что горизонтальные градиенты давления возникают из-за смещения поверхности давления, а это означает, что поле горизонтальной скорости постоянно по всей глубине жидкости. Вертикальное интегрирование позволяет исключить вертикальную скорость из уравнений. Таким образом выводятся уравнения мелкой воды.

Хотя член вертикальной скорости не присутствует в уравнениях мелкой воды, обратите внимание, что эта скорость не обязательно равна нулю. Это важное различие, поскольку, например, вертикальная скорость не может быть равна нулю, когда дно меняет глубину, и, таким образом, если бы она была равна нулю, в уравнениях мелкой воды можно было бы использовать только плоские днища. Как только решение (т.е. горизонтальные скорости и перемещение свободной поверхности) найдено, вертикальную скорость можно восстановить с помощью уравнения неразрывности.

В гидродинамике часто встречаются ситуации, когда горизонтальный масштаб длины намного больше вертикального, поэтому уравнения мелкой воды широко применимы. Они используются вместе с силами Кориолиса в моделировании атмосферы и океана как упрощение примитивных уравнений атмосферного потока.

Модели уравнений мелководья имеют только один вертикальный уровень, поэтому они не могут напрямую учитывать какой-либо фактор, изменяющийся с высотой. Однако в тех случаях, когда среднее состояние достаточно простое, вертикальные изменения можно отделить от горизонтальных, и это состояние можно описать несколькими наборами уравнений мелкой воды.

Уравнения

Одномерная диаграмма, представляющая модель мелкой воды.

Консервативная форма

Уравнения мелкой воды выводятся из уравнений сохранения массы и сохранения линейного импульса ( уравнения Навье-Стокса ), которые справедливы даже тогда, когда предположения о мелкой воде не работают, например, при гидравлическом прыжке . В случае горизонтального дна с пренебрежимо малыми силами Кориолиса , силами трения и вязкости уравнения мелкой воды имеют вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho \eta )}{\partial t}}&+{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho \eta u^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\rho \eta v^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial x}}=0.\end{aligned}}}$$

Здесь η — общая высота столба жидкости (мгновенная глубина жидкости как функция x , y и t ), а двумерный вектор ( u , v ) — скорость горизонтального потока жидкости , усредненная по вертикальному столбу. Далее g — ускорение свободного падения, а ρ — плотность жидкости . Первое уравнение получено из закона сохранения массы, вторые два — из закона сохранения импульса. ^[3]

Неконсервативная форма

Разлагая производные, приведенные выше, с использованием правила произведения , получаем неконсервативную форму уравнений мелкой воды. Поскольку скорости не подчиняются фундаментальному уравнению сохранения, неконсервативные формы не сохраняются при ударе или гидравлическом прыжке . Также включены соответствующие условия для Кориолиса, сил трения и вязкости, чтобы получить (для постоянной плотности жидкости):

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}(H+h)u{\Bigr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}(H+h)v{\Bigr )}=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$

где

Анимация линеаризованных уравнений мелкой воды для прямоугольного бассейна без учета трения и силы Кориолиса. Вода испытывает всплеск, который генерирует поверхностные гравитационные волны, которые распространяются от места всплеска и отражаются от стенок бассейна. Анимация создана с использованием точного решения Кэрриера и Йе (2005) для осесимметричных волн. ^[4]

Часто бывает, что члены, квадратичные по u и v , которые отражают эффект объемной адвекции , малы по сравнению с другими членами. Это называется геострофическим балансом и эквивалентно утверждению, что число Россби мало. Предполагая также, что высота волны очень мала по сравнению со средней высотой ( h ≪ H ), имеем (без учета боковых вязких сил):

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku,\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv.\end{aligned}}}$$

Одномерные уравнения Сен-Венана

Одномерные (1-D) уравнения Сен-Венана были выведены Адемаром Жан-Клодом Барре де Сен-Венаном и обычно используются для моделирования переходного течения в открытом канале и поверхностного стока . Их можно рассматривать как сокращение двумерных (2-D) уравнений мелкой воды, которые также известны как двумерные уравнения Сен-Венана. Одномерные уравнения Сен-Венана в определенной степени содержат основные характеристики формы поперечного сечения канала .

Одномерные уравнения широко используются в компьютерных моделях , таких как TUFLOW, Mascaret (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS , ^[5] SWMM5, ISIS, ^[5] InfoWorks, ^[5] Flood Modeller, SOBEK 1DFlow, МАЙК 11 , ^[5] и МАЙК ШЕ , потому что их значительно легче решить, чем полные уравнения мелкой воды. Общие применения одномерных уравнений Сен-Венана включают маршрут паводков вдоль рек (включая оценку мер по снижению риска наводнений), анализ прорыва плотин, штормовые импульсы в открытом русле, а также ливневые стоки в наземном потоке.

Уравнения

Поперечное сечение открытого канала.

Система дифференциальных уравнений в частных производных , описывающая одномерное течение несжимаемой жидкости в открытом канале произвольного поперечного сечения , полученная и сформулированная Сен-Венаном в его статье 1871 года (уравнения 19 и 20), выглядит следующим образом: ^[6]

и

где x — пространственная координата вдоль оси канала, t — время, A ( x , t ) — площадь поперечного сечения потока в точке x , u ( x , t ) — скорость потока , ζ ( x , t) ) — высота свободной поверхности , а τ( x , t ) — напряжение сдвига стенки вдоль смоченного периметра P ( x , t ) поперечного сечения в точке x . Далее ρ — (постоянная) плотность жидкости , а g — ускорение свободного падения .

Замыкание гиперболической системы уравнений ( 1 )–( 2 ) получается из геометрии поперечных сечений – обеспечением функциональной связи между площадью поперечного сечения A и высотой поверхности ζ в каждом положении x . Например, для прямоугольного поперечного сечения с постоянной шириной канала B и высотой русла z _b площадь поперечного сечения равна: A = B (ζ - z _b ) = B h . Мгновенная глубина воды равна h ( x , t ) = ζ( x , t ) − z _b ( x ) , где z _b ( x ) уровень дна (т. е. высота самой низкой точки дна над нулевой отметкой , см. крестик). - рисунок сечения). Для неподвижных стенок канала площадь поперечного сечения A в уравнении ( 1 ) можно записать как:

$${\displaystyle A(x,t)=\int _{0}^{h(x,t)}b(x,h')\,dh',}$$

bxhxhb ( x , h ) = B ( x )^[7]

Напряжение сдвига стенки τ зависит от скорости потока u , их можно связать, используя, например, уравнение Дарси-Вейсбаха , формулу Мэннинга или формулу Шези .

Далее, уравнение ( 1 ) является уравнением неразрывности , выражающим сохранение объема воды для этой несжимаемой однородной жидкости. Уравнение ( 2 ) представляет собой уравнение количества движения , дающее баланс между силами и скоростью изменения количества движения.

Уклон пласта S ( x ), уклон трения S _f ( x , t ) и гидравлический радиус R ( x , t ) определяются как:

$${\displaystyle S=-{\frac {\mathrm {d} z_{\mathrm {b} }}{\mathrm {d} x}},}$$

$${\displaystyle S_{\mathrm {f} }={\frac {\tau }{\rho gR}}}$$

$${\displaystyle R={\frac {A}{P}}.}$$

Следовательно, уравнение количества движения ( 2 ) можно записать как: ^[7]

Сохранение импульса

Уравнению количества движения ( 3 ) также можно придать так называемую форму сохранения посредством некоторых алгебраических манипуляций с уравнениями Сен-Венана ( 1 ) и ( 3 ). По разряду Q = Au : [ ^8]

где A , I ₁ и I ₂ являются функциями геометрии канала, описываемыми через ширину канала B (σ, x ). Здесь σ — высота над самой нижней точкой поперечного сечения в месте x , см. рисунок поперечного сечения. Итак, σ — высота над уровнем дна z _b ( x ) (самой низкой точки поперечного сечения):

$${\displaystyle {\begin{aligned}A(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }B(\sigma ',x)\;\mathrm {d} \sigma ',\\I_{1}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,B(\sigma ^{\prime },x)\;\mathrm {d} \sigma '\qquad {\text{and}}\\I_{2}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,{\frac {\partial B(\sigma ',x)}{\partial x}}\;\mathrm {d} \sigma '.\end{aligned}}}$$

Выше – в уравнении импульса ( 4 ) в форме сохранения – A , I ₁ и I ₂ оцениваются при σ = h ( x , t ) . Член g I ₁ описывает гидростатическую силу в определенном поперечном сечении. А для непризматического канала g I ₂ дает эффект изменения геометрии вдоль оси x канала .

В приложениях, в зависимости от решаемой задачи, часто отдается предпочтение использованию либо уравнения импульса в форме несохранения ( 2 ) или ( 3 ), либо формы сохранения ( 4 ). Например, в случае описания гидравлических прыжков форма сохранения предпочтительна, поскольку поток импульса непрерывен на всем протяжении прыжка.

Характеристики

Характеристики, область зависимости и область влияния, связанные с местоположением P = ( x _P , t _P ) в пространстве x и времени t .

Уравнения Сен-Венана ( 1 )–( 2 ) можно проанализировать методом характеристик . ^{[9] [10] [11] [12]} Две скорости d x /d t на характеристических кривых: ^[8]

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u\pm c,}$$

$${\displaystyle c={\sqrt {\frac {gA}{B}}}.}$$

Число Фруда Fr = | ты | / c определяет, является ли поток докритическим ( Fr < 1 ) или сверхкритическим ( Fr > 1 ).

Для прямоугольного и призматического канала постоянной ширины B , т.е. с A = B h и c = √ gh , инвариантами Римана являются: ^[9]

$${\displaystyle r_{+}=u+2{\sqrt {gh}}}$$

$${\displaystyle r_{-}=u-2{\sqrt {gh}},}$$

^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u+2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u+{\sqrt {gh}}\quad {\text{and}}\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u-2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u-{\sqrt {gh}}.\end{aligned}}}$$

Инварианты Римана и метод характеристик призматического канала произвольного сечения описаны Диденкуловой и Пелиновским (2011). ^[12]

Характеристики и инварианты Римана дают важную информацию о поведении течения, а также о том, что их можно использовать в процессе получения (аналитических или численных) решений. ^{[13] [14] [15] [16]}

Гамильтонова структура для течения без трения

В случае отсутствия трения и канала прямоугольного призматического сечения уравнения Сен-Венана имеют гамильтонову структуру. ^[17] Гамильтониан H равен энергии течения на свободной поверхности:

$${\displaystyle H=\rho \int \left({\frac {1}{2}}Au^{2}+{\frac {1}{2}}gB\zeta ^{2}\right)\mathrm {d} x,}$$

Bρплотность

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial u}}\right)=\rho \left(B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=\rho \left({\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=0,\\&\rho B{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial \zeta }}\right)=\rho B\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)=0,\end{aligned}}}$$

∂ А /∂ ζ знак равно B )

Производное моделирование

Динамическая волна

Динамическая волна представляет собой полное одномерное уравнение Сен-Венана. Это сложно решить численно, но оно справедливо для всех сценариев течения в русле. Динамическая волна используется для моделирования переходных штормов в программах моделирования, включая Mascaret (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS , ^[18] InfoWorks_ICM, ^[19] MIKE 11 , ^[20] Wash 123d ^[21] и SWMM5 .

В порядке возрастания упрощений, удаляя некоторые члены полных одномерных уравнений Сен-Венана (также известных как динамическое волновое уравнение), мы получаем также классическое диффузионное волновое уравнение и кинематическое волновое уравнение.

Диффузионная волна

Для диффузионной волны предполагается, что инерционные члены меньше, чем члены гравитации, трения и давления. Таким образом, диффузионную волну можно более точно описать как неинерционную волну, и она записывается как:

$${\displaystyle g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0.}$$

Диффузная волна действительна, когда инерционное ускорение намного меньше, чем все другие формы ускорения, или, другими словами, когда существует преимущественно докритический поток с низкими значениями Фруда. Модели, использующие предположение о диффузных волнах, включают MIKE SHE ^[22] и LISFLOOD-FP. ^[23] В программном обеспечении SIC (Irstea) эта опция также доступна, поскольку 2 члена инерции (или любой из них) можно дополнительно удалить из интерфейса.

Кинематическая волна

Для кинематической волны предполагается, что течение однородно, а наклон трения примерно равен наклону канала. Это упрощает полное уравнение Сен-Венана до кинематической волны:

$${\displaystyle S_{f}-S=0.}$$

Кинематическая волна действительна, когда изменение высоты волны с расстоянием и скорости с расстоянием и временем незначительно по отношению к наклону дна, например, для неглубоких потоков на крутых склонах. ^[24] Кинематическая волна используется в HEC-HMS . ^[25]

Вывод из уравнений Навье – Стокса.

Одномерное уравнение импульса Сен-Венана может быть получено из уравнений Навье-Стокса , описывающих движение жидкости . Компонент x уравнений Навье – Стокса, выраженный в декартовых координатах в направлении x , можно записать как:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+f_{x},}$$

где u — скорость в направлении x , v — скорость в направлении y , w — скорость в направлении z , t — время, p — давление, ρ — плотность воды, ν — кинематическая вязкость, а f _x — массовая сила в направлении x .

1. Если предположить, что трение учитывается как объемная сила, то его можно принять равным нулю, так: ${\displaystyle \nu }$
   $${\displaystyle \nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0.}$$
2. Предполагая одномерное течение в направлении x , отсюда следует, что: ^[26]
   $${\displaystyle v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=0}$$
3. Предполагая также, что распределение давления приблизительно гидростатическое, отсюда следует, что: ^[26]
   $${\displaystyle p=\rho gh}$$
   или в дифференциальной форме:
   $${\displaystyle \partial p=\rho g(\partial h).}$$
   И когда эти предположения применяются к x -компоненте уравнений Навье – Стокса:
   $${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\rho g\left(\partial h\right)}{\partial x}}=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}.}$$
4. На жидкость в канале действуют две объемные силы: сила тяжести и трение:
   $${\displaystyle f_{x}=f_{x,g}+f_{x,f}}$$
   где f _x,g — массовая сила, вызванная гравитацией, а f _x,f — массовая сила, вызванная трением.
5. f _{x , g} можно рассчитать с помощью основ физики и тригонометрии: ^[27]
   $${\displaystyle F_{g}=\sin(\theta )gM}$$
   где F _g — сила тяжести в направлении x , θ — угол, а M — масса.

   

   Рисунок 1: Схема движения блока вниз по наклонной плоскости.

   Выражение для sin θ можно упростить с помощью тригонометрии:
   $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{hyp}}}.}$$
   Для малых θ (разумных практически для всех потоков) можно предположить, что:
   $${\displaystyle \sin \theta =\tan \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{adj}}}=S}$$
   и учитывая, что f _x представляет собой силу на единицу массы, выражение принимает вид:
   $${\displaystyle f_{x,g}=gS.}$$
6. Если предположить, что линия уровня энергии не совпадает с уклоном канала, и для достижения постоянного уклона существуют постоянные потери на трение, отсюда следует, что: ^[28]
   $${\displaystyle f_{x,f}=S_{f}g.}$$
7. В совокупности все эти предположения приводят к одномерному уравнению Сен-Венана в направлении x :
   $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0,}$$
   $${\displaystyle (a)\quad \ \ (b)\quad \ \ \ (c)\qquad \ \ \ (d)\quad (e)\ }$$
   где (a) — член местного ускорения, (b) — член конвективного ускорения, (c) — член градиента давления, (d) — член трения, и (e) — член гравитации.

Условия

Локальное ускорение (а) также можно рассматривать как «нестационарный член», поскольку оно описывает некоторое изменение скорости с течением времени. Конвективное ускорение (b) — это ускорение, вызванное некоторым изменением скорости в зависимости от положения, например, ускорением или замедлением потока жидкости, попадающей в сужение или отверстие соответственно. Оба этих члена составляют члены инерции одномерного уравнения Сен-Венана.

Термин градиента давления (c) описывает, как давление меняется в зависимости от положения, и, поскольку давление предполагается гидростатическим, это изменение положения напора относительно положения. Член трения (d) учитывает потери энергии из-за трения, а член силы тяжести (e) представляет собой ускорение из-за наклона пласта.

Моделирование волн с помощью уравнений мелкой воды

Уравнения мелкой воды можно использовать для моделирования волн Россби и Кельвина в атмосфере, реках, озерах и океанах, а также гравитационных волн в меньшей области (например, поверхностных волн в ванне). Чтобы уравнения мелкой воды были действительными, длина волны явления, которое они должны моделировать, должна быть намного больше глубины бассейна, в котором это явление имеет место. С несколько меньшими длинами волн можно справиться, расширив уравнения мелкой воды с помощью приближения Буссинеска , включив в него эффекты дисперсии . ^[29] Уравнения мелкой воды особенно подходят для моделирования приливов, которые имеют очень большие масштабы длины (более сотен километров). Для приливного движения даже очень глубокий океан можно считать мелким, поскольку его глубина всегда будет намного меньше длины волны прилива.

Генерация и распространение цунами , рассчитанные с помощью уравнений мелкой воды (красная линия; без частотной дисперсии)) и с помощью модели типа Буссинеска (синяя линия; с частотной дисперсией). Обратите внимание, что модель типа Буссинеска (синяя линия) образует солитон с осциллирующим хвостом, остающимся позади. Уравнения мелкой воды (красная линия) образуют крутой фронт, который в дальнейшем приведет к образованию борозды . Глубина воды составляет 100 метров.

Моделирование турбулентности с использованием нелинейных уравнений мелкой воды

Снимок моделирования уравнений мелкой воды, в которых присутствуют ударные волны.

Уравнения мелкой воды в своей нелинейной форме являются очевидным кандидатом для моделирования турбулентности в атмосфере и океанах, то есть геофизической турбулентности . Преимущество этого метода перед квазигеострофическими уравнениями заключается в том, что он допускает такие решения, как гравитационные волны , сохраняя при этом энергию и потенциальную завихренность . Однако с точки зрения геофизических приложений есть и некоторые недостатки - он имеет неквадратичное выражение для полной энергии и склонность волн превращаться в ударные волны . ^[30] Были предложены некоторые альтернативные модели, которые предотвращают образование шока. Одной из альтернатив является изменение «члена давления» в уравнении количества движения, но это приводит к сложному выражению для кинетической энергии . ^[31] Другой вариант — изменить нелинейные члены во всех уравнениях, что дает квадратичное выражение для кинетической энергии , позволяет избежать образования ударной волны, но сохраняет только линеаризованную потенциальную завихренность . ^[32]

Смотрите также

• Волны и мелководье

Примечания

1. Фреугденхил, CB (1986). Численные методы исследования течения на мелководье. Библиотека водных наук и технологий. Том. 13. Спрингер, Дордрехт. п. 262. дои : 10.1007/978-94-015-8354-1. ISBN 978-90-481-4472-3.
2. «Уравнения мелкой воды» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 марта 2012 г. Проверено 22 января 2010 г.
3. Клинт Доусон и Кристофер М. Мирабито (2008). «Уравнения мелкой воды» (PDF) . Проверено 28 марта 2013 г.
4. Перевозчик, GF ; Йе, Х. (2005), «Распространение цунами от конечного источника», Компьютерное моделирование в технике и науках , 10 (2): 113–122, doi : 10.3970/cmes.2005.010.113
5. С. Нильц; Дж. Пендер (2009). «Настольный обзор пакетов 2D-гидравлического моделирования». Совместная программа исследований и разработок Агентства по охране окружающей среды/Defra по управлению рисками наводнений и береговой эрозии (Научный отчет: SC080035): 5 . Проверено 2 декабря 2016 г.
6. Сен-Венан, AJC Барре де (1871), «Теория непостоянного движения воды, с применением aux crues des rivières и l'introduction de Marées dans leurs Lits», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 73 : 147–154 и 237–240
7. Чоу, Вен Те (1959), Гидравлика с открытым каналом , McGraw-Hill, OCLC  4010975, §18-1 и §18-2.
8. Кунге, Дж. А., Ф. М. Холли-младший и А. Верви (1980), Практические аспекты вычислительной речной гидравлики , Pitman Publishing, ISBN 0 273 08442 9 , §§2.1 и 2.2 
9. Whitham, GB (1974) Линейные и нелинейные волны , §§5.2 и 13.10, Wiley, ISBN 0-471-94090-9 
10. Лайтхилл, Дж. (2005), Волны в жидкостях , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-01045-0 , §§2.8–2.14 
11. Мейер, Р.Э. (1960), Теория характеристик динамики невязкого газа. В: Гидродинамика/Strömungsmechanik , Физическая энциклопедия IX , под ред. С. Флюгге и К. Трусделл , Спрингер, Берлин, ISBN 978-3-642-45946-7 , стр. 225–282. 
12. Диденкулова, И.; Пелиновский, Э. (2011). «Волны-убийцы в нелинейных гиперболических системах (каркас мелкой воды)». Нелинейность . 24 (3): R1–R18. Бибкод : 2011Nonli..24R...1D. дои : 10.1088/0951-7715/24/3/R01. S2CID  59438883.
13. Харрис, МВт; Никольский, диджей; Пелиновский, Е.Н.; Рыбкин, А.В. (01.03.2015). «Набег нелинейных длинных волн в трапециевидных заливах: одномерная аналитическая теория и двумерные численные расчеты». Чистая и прикладная геофизика . 172 (3–4): 885–899. Бибкод : 2015PApGe.172..885H. дои : 10.1007/s00024-014-1016-3. ISSN  0033-4553. S2CID  55004099.
14. Харрис, МВт; Никольский, диджей; Пелиновский, Е.Н.; Пендер, Дж. М.; Рыбкин, А.В. (01.05.2016). «Накат нелинейных длинных волн в U-образных бухтах конечной длины: аналитическая теория и численные расчеты». Журнал океанической инженерии и морской энергетики . 2 (2): 113–127. дои : 10.1007/s40722-015-0040-4 . ISSN  2198-6444. S2CID  123725815.
15. Гарайшин, В.В.; Харрис, Миссури; Никольский, диджей; Пелиновский, Е.Н.; Рыбкин А.В. (10 апреля 2016 г.). «Аналитическое и численное исследование наката длинных волн в U-образных и V-образных бухтах». Прикладная математика и вычислительная техника . 279 : 187–197. дои : 10.1016/j.amc.2016.01.005.
16. Андерсон, Далтон; Харрис, Мэтью; Хартл, Харрисон; Никольский Дмитрий; Пелиновский, Ефим; Раз, Амир; Рыбкин, Алексей (2 февраля 2017 г.). «Накат длинных волн в кусочно-наклонных U-образных заливах». Чистая и прикладная геофизика . 174 (8): 3185. Бибкод : 2017PApGe.174.3185A. дои : 10.1007/s00024-017-1476-3. ISSN  0033-4553. S2CID  132114728.
17. Ланн, Д. (2013). Проблема волн на воде: математический анализ и асимптотика . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество. п. 174. ИСБН 9780821894705. LCCN  2012046540.
18. Бруннер, GW (1995), Система анализа реки HEC-RAS. Справочное руководство по гидравлике. Версия 1.0, документ DTIC.
19. Сирби, Д.; Дин, А.; Маргеттс Дж. (1998), Моделирование гидроузлов в гавани Крайстчерча, Материалы осеннего собрания WAPUG, Блэкпул, Великобритания.
20. Хавно, К., М. Мэдсен, Дж. Дорге и В. Сингх (1995), MIKE 11 - пакет обобщенного моделирования рек, Компьютерные модели гидрологии водосборов., 733–782.
21. Да, Г.; Ченг, Дж.; Лин, Дж.; Мартин, В. (1995), Численная модель, моделирующая поток воды, а также перенос загрязняющих веществ и наносов в водосборных системах одномерной сети ручьев и рек, двухмерного сухопутного режима и трехмерной подземной среды . Компьютерные модели гидрологии водоразделов, 733–782.
22. DHI (Датский институт гидравлики) (2011), MIKE SHE Руководство пользователя, том 2: Справочное руководство, отредактировано.
23. Бейтс, П., Т. Фьютрелл, М. Тригг и Дж. Нил (2008), Руководство пользователя LISFLOOD-FP и технические примечания, версия кода 4.3. 6, Бристольский университет.
24. Новак П. и др., Гидравлическое моделирование – Введение: принципы, методы и приложения. 2010: ЦРК Пресс.
25. Шарффенберг, Вашингтон, и М. Дж. Флеминг (2006), Система гидрологического моделирования HEC-HMS: Руководство пользователя, Инженерный корпус армии США, Гидрологический инженерный центр.
26. Винсент., Фромион (2009). Моделирование и управление гидросистемами . Спрингер. ISBN 9781848826243. ОСЛК  401159458.
27. «Наклонные плоскости». www.физикаклассрум.com . Проверено 16 мая 2017 г.
28. Методы., Хестад (2007). Компьютерные приложения в гидротехнике: соединение теории с практикой . Издательство Института Бентли. ISBN 978-0971414167. ОСЛК  636350249.
29. Дингеманс, М.В. (1997), Распространение волн по неровному дну , Расширенная серия по океанской инженерии 13 , World Scientific, Сингапур, стр. 473 и 516, ISBN 978-981-02-0427-3
30. Ожье, Пьер; Моханан, Ашвин Вишну; Линдборг, Эрик (17 сентября 2019 г.). «Турбулентность волн на мелководье». Журнал механики жидкости . 874 : 1169–1196. Бибкод : 2019JFM...874.1169A. дои : 10.1017/jfm.2019.375 . ISSN  1469-7645. S2CID  198976015.
31. Бюлер, Оливер (1 сентября 1998 г.). «Модель мелководья, предотвращающая нелинейное усиление гравитационных волн». Журнал атмосферных наук . 55 (17): 2884–2891. Бибкод : 1998JAtS...55.2884B. doi : 10.1175/1520-0469(1998)055<2884:ASWMTP>2.0.CO;2 . ISSN  0022-4928.
32. Линдборг, Эрик; Моханан, Ашвин Вишну (1 ноября 2017 г.). «Двумерная игрушечная модель геофизической турбулентности». Физика жидкостей . 29 (11): 111114. Бибкод : 2017PhFl...29k1114L. дои : 10.1063/1.4985990. ISSN  1070-6631.

дальнейшее чтение

• Баттьес, JA ; Лабер, Р.Дж. (2017), Нестационарный поток в открытых каналах , Cambridge University Press, doi : 10.1017/9781316576878, ISBN 978-1-107-15029-4
• Фреугденхил, CB (1994), Численные методы измерения потока мелкой воды , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792331643

Внешние ссылки

• Вывод уравнений мелкой воды из первых принципов (вместо упрощения уравнений Навье – Стокса некоторые аналитические решения)