Принцип Кавальери

Геометрическая концепция

Этот файл представляет принцип Кавальери в действии: если у вас есть одинаковый набор поперечных сечений, отличающихся только горизонтальным перемещением, вы получите тот же объем.

В геометрии принцип Кавальери , современная реализация метода неделимых , названная в честь Бонавентуры Кавальери , выглядит следующим образом: ^[1]

• Двумерный случай: Предположим, что две области на плоскости заключены между двумя параллельными прямыми в этой плоскости. Если каждая линия, параллельная этим двум прямым, пересекает обе области по отрезкам равной длины, то эти две области имеют равные площади.
• 3-мерный случай: Предположим, что две области в трехмерном пространстве (твердые тела) заключены между двумя параллельными плоскостями. Если каждая плоскость, параллельная этим двум плоскостям, пересекает обе области в сечениях равной площади, то эти две области имеют равные объемы.

Сегодня принцип Кавальери рассматривается как ранний шаг к интегральному исчислению , и хотя он используется в некоторых формах, таких как его обобщение в теореме Фубини и представление в виде слоеного пирога , результаты с использованием принципа Кавальери часто можно показать более непосредственно через интегрирование. В другом направлении принцип Кавальери вырос из древнегреческого метода исчерпывания , который использовал пределы, но не использовал бесконечно малые .

История

Бонавентура Кавальери — математик, в честь которого назван принцип.

Принцип Кавальери изначально назывался методом неделимых, под этим названием он был известен в Европе эпохи Возрождения . ^[2] Кавальери разработал полную теорию неделимых, подробно изложенную в его Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota ( Геометрия, развитая по-новому неделимыми континуумов , 1635) и его Exercitationes geometricae sex ( Шесть геометрических упражнений , 1647). ^[3] Хотя работа Кавальери установила принцип, в своих публикациях он отрицал, что континуум состоит из неделимых, пытаясь избежать связанных с ним парадоксов и религиозных споров, и он не использовал его для нахождения ранее неизвестных результатов. ^[4]

В 3 веке до н. э. Архимед , используя метод, напоминающий принцип Кавальери, ^[5] смог найти объем сферы, зная объемы конуса и цилиндра в своей работе «Метод механических теорем» . В 5 веке н. э. Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэнчжи разработали аналогичный метод для нахождения объема сферы. ^[2] Однако ни один из подходов не был известен в Европе раннего Нового времени.

Переход от неделимых Кавальери к бесконечно малым Эванджелиста Торричелли и Джона Уоллиса был крупным шагом вперед в истории исчисления . Неделимые были сущностями коразмерности 1, так что плоская фигура считалась состоящей из бесконечного числа одномерных линий. Между тем, бесконечно малые были сущностями той же размерности, что и фигура, которую они составляют; таким образом, плоская фигура будет состоять из «параллелограммов» бесконечно малой ширины. Применив формулу для суммы арифметической прогрессии, Уоллис вычислил площадь треугольника, разбив его на бесконечно малые параллелограммы шириной 1/∞.

2-мерный

Циклоиды

Горизонтальное сечение области, ограниченной двумя циклоидальными дугами, описываемыми точкой на той же окружности, катящейся в одном случае по часовой стрелке по прямой, расположенной под ней, а в другом случае против часовой стрелки по прямой, расположенной над ней, имеет ту же длину, что и соответствующее горизонтальное сечение окружности.

Н. Рид показал ^[6], как найти площадь, ограниченную циклоидой , используя принцип Кавальери. Круг радиуса r может катиться по часовой стрелке по прямой под ним или против часовой стрелки по прямой над ним. Таким образом, точка на круге вычерчивает две циклоиды. Когда круг прокатывается на определенное расстояние, угол, на который он повернулся бы по часовой стрелке, и угол, на который он повернулся бы против часовой стрелки, одинаковы. Две точки, вычерчивающие циклоиды, поэтому находятся на одинаковой высоте. Следовательно, линия, проходящая через них, горизонтальна (т. е. параллельна двум линиям, по которым катится круг). Следовательно, каждое горизонтальное поперечное сечение круга имеет ту же длину, что и соответствующее горизонтальное поперечное сечение области, ограниченной двумя дугами циклоид. По принципу Кавальери круг, таким образом, имеет ту же площадь, что и эта область.

Рассмотрим прямоугольник, ограничивающий одну циклоидную дугу. Из определения циклоиды следует, что ее ширина равна 2π r , а высота — 2 r , поэтому ее площадь в четыре раза больше площади круга. Вычислите площадь внутри этого прямоугольника, лежащую над циклоидной дугой, разделив прямоугольник пополам в средней точке, где дуга встречается с прямоугольником, поверните одну часть на 180° и наложите ее на другую половину прямоугольника. Новый прямоугольник, площадь которого вдвое больше площади круга, состоит из области «линзы» между двумя циклоидами, площадь которой, как было рассчитано выше, равна площади круга, и двух областей, которые образовали область над циклоидной дугой в исходном прямоугольнике. Таким образом, площадь, ограниченная прямоугольником над одной полной дугой циклоиды, равна площади круга, и, таким образом, площадь, ограниченная аркой, в три раза больше площади круга.

3-х мерный

Конусы и пирамиды

Тот факт, что объем любой пирамиды , независимо от формы основания, включая конусы (круглое основание), равен (1/3) × основание × высота, может быть установлен с помощью принципа Кавальери, если известно только, что это верно в одном случае. Можно изначально установить это в одном случае, разбив внутреннюю часть треугольной призмы на три пирамидальных компонента равных объемов. Можно показать равенство этих трех объемов с помощью принципа Кавальери.

Фактически, принцип Кавальери или аналогичный бесконечно малый аргумент необходим для вычисления объема конусов и даже пирамид, что по сути является содержанием третьей проблемы Гильберта – многогранные пирамиды и конусы не могут быть разрезаны и переставлены в стандартную форму, а вместо этого должны сравниваться бесконечными (бесконечно малыми) способами. Древние греки использовали различные предшествующие методы, такие как механические аргументы Архимеда или метод исчерпывания, для вычисления этих объемов.

Параболоиды

Площадь поперечного сечения перевернутого параболоида в форме диска равна площади поперечного сечения кольцеобразной части цилиндра, находящейся вне вписанного параболоида.

Рассмотрим цилиндр радиусом и высотой , описывающий параболоид , вершина которого находится в центре нижнего основания цилиндра, а основание — в верхнем основании цилиндра. Также рассмотрим параболоид с равными размерами, но с перевернутыми вершиной и основанием. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$
${\displaystyle y=h-h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$

Для любой высоты дискообразная площадь поперечного сечения перевернутого параболоида равна кольцеобразной площади поперечного сечения цилиндрической части вне вписанного параболоида. ${\displaystyle 0\leq y\leq h}$ ${\displaystyle \pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}}$ ${\displaystyle \pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}}$

Следовательно, объем перевернутого параболоида равен объему цилиндрической части вне вписанного параболоида. Другими словами, объем параболоида равен половине объема его описанного цилиндра. ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}h}$

Сферы

Площадь поперечного сечения сферы в форме диска равна площади поперечного сечения цилиндрической части, лежащей снаружи конуса в форме кольца.

Если известно, что объем конуса равен , то можно использовать принцип Кавальери, чтобы вывести тот факт, что объем сферы равен , где — радиус. ${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{height}}\right)}$ ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\displaystyle r}$

Это делается следующим образом: рассмотрим сферу радиусом и цилиндр радиусом и высотой . Внутри цилиндра находится конус, вершина которого находится в центре одного основания цилиндра, а основание — другое основание цилиндра. По теореме Пифагора плоскость, расположенная на единицы выше «экватора», пересекает сферу по окружности радиусом и площадью . Площадь пересечения плоскости с частью цилиндра, которая находится снаружи конуса, также равна . Как можно видеть, площадь круга, определяемого пересечением со сферой горизонтальной плоскости, расположенной на любой высоте, равна площади пересечения этой плоскости с частью цилиндра, которая находится «снаружи» конуса; таким образом, применяя принцип Кавальери, можно сказать, что объем полусферы равен объему части цилиндра, которая находится «снаружи» конуса. Вышеупомянутый объем конуса равен объему цилиндра , таким образом, объем снаружи конуса равен объему цилиндра. Поэтому объем верхней половины сферы равен объему цилиндра. Объем цилиндра равен ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$ ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$ ${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle {\text{base}}\times {\text{height}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}$

(«Основание» измеряется в единицах площади ; «высота» измеряется в единицах расстояния . Площадь × расстояние = объем .)

Следовательно, объем верхней полусферы равен , а объем всей сферы равен . ${\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$ ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

Проблема кольца для салфеток

Если отверстие высотой просверлить прямо через центр сферы, то объем оставшейся полосы не зависит от размера сферы. Для большей сферы полоса будет тоньше, но длиннее. ${\displaystyle h}$

В так называемой задаче о кольце для салфетки , по принципу Кавальери показано, что когда отверстие просверлено прямо через центр сферы, где оставшаяся полоса имеет высоту , объем оставшегося материала удивительным образом не зависит от размера сферы. Поперечное сечение оставшегося кольца представляет собой плоское кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов. По теореме Пифагора площадь одного из двух кругов равна , где — радиус сферы, а — расстояние от плоскости экватора до плоскости сечения, а площадь другого равна . При их вычитании сокращается ; отсюда и отсутствие зависимости конечного ответа от . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi \times (r^{2}-y^{2})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle r}$

Смотрите также

• Теорема Фубини (принцип Кавальери является частным случаем теоремы Фубини)

Ссылки

1. Ивс, Ховард (1991). «Две удивительные теоремы о сравнении Кавальери». The College Mathematics Journal . 22 (2): 118–124. doi :10.1080/07468342.1991.11973367.
2. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2011). Исчисление: Ранние трансцендентали (4-е изд.). Jones & Bartlett Learning . стр. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7.
3. Кац, Виктор Дж. (1998). История математики: Введение (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. стр. 477. ISBN 9780321016188.
4. Александр, Амир (2015). Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World . Великобритания: Oneworld. С. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.
5. «Утраченный метод Архимеда». Энциклопедия Британника .
6. Рид, Н. (декабрь 1986 г.). «70.40 Элементарное доказательство площади под циклоидой». The Mathematical Gazette . 70 (454): 290–291. doi :10.2307/3616189. JSTOR  i285660.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Принцип Кавальери». MathWorld .
• (на немецком языке) Принцип фон Кавальери
• Интеграция Кавальери