В математической теории узлов , не узел , или тривиальный узел , является наименее заузленным из всех узлов. Интуитивно, не узел - это замкнутая петля веревки без завязанного на ней узла , не завязанная. Для теоретика узлов, не узел - это любая вложенная топологическая окружность в 3-сфере , которая является окружающей изотопной (то есть деформируемой) геометрически круглой окружности , стандартный не узел .
Тривиальный узел — единственный узел, являющийся границей вложенного диска , что дает характеристику того, что только тривиальные узлы имеют род Зейферта 0. Аналогично тривиальный узел является единичным элементом относительно операции суммы узлов .
Решение о том, является ли конкретный узел неразветвленным, было основной движущей силой инвариантов узлов , поскольку считалось, что этот подход, возможно, даст эффективный алгоритм для распознавания неразветвленного узла из некоторого представления, такого как диаграмма узла . Известно, что распознавание неразветвленных узлов существует как в NP, так и в co-NP .
Известно, что гомологии узлов Флоера и гомологии Хованова обнаруживают невязку, но неизвестно, являются ли они эффективно вычислимыми для этой цели. Неизвестно, могут ли полиномиальные инварианты Джонса или инварианты конечного типа обнаружить невязку.
Может быть трудно найти способ распутать нить, даже если тот факт, что она изначально была распутана, доказывает, что задача выполнима. Тистлтуэйт и Очиаи привели множество примеров диаграмм распутывания, которые не имеют очевидного способа упростить, требуя временного увеличения числа пересечений диаграммы .
Хотя веревка обычно не имеет форму замкнутой петли, иногда есть канонический способ представить, что концы соединены вместе. С этой точки зрения, многие полезные практические узлы на самом деле являются распутыванием, включая те, которые можно завязать в бухту . [ 1]
Каждый ручной узел может быть представлен как связь , которая является набором жестких линейных сегментов, соединенных универсальными шарнирами на своих концах. Число палки — это минимальное количество сегментов, необходимых для представления узла как связи, а застрявший узел — это конкретная незавязанная связь, которая не может быть преобразована в плоский выпуклый многоугольник. [2] Как и число пересечения, связь может потребоваться сделать более сложной путем подразделения ее сегментов, прежде чем ее можно будет упростить.
Полиномы Александера –Конвея и Джонса тривиальны:
Никакой другой узел с 10 или менее пересечениями не имеет тривиального полинома Александера, но узел Киноситы–Терасаки и узел Конвея (оба имеют 11 пересечений) имеют те же полиномы Александера и Конвея, что и нетривиальный узел. Открытой проблемой является то, имеет ли какой-либо нетривиальный узел тот же полином Джонса, что и нетривиальный узел.
Тривиальный узел — единственный узел, группа узлов которого является бесконечной циклической группой , а его дополнение к узлу гомеоморфно полноторию .
