В математической логике независимость — это недоказуемость предложения от других предложений.
Предложение σ независимо от данной теории первого порядка T , если T не доказывает и не опровергает σ; то есть невозможно доказать σ на основе T , а также невозможно доказать на основе T , что σ ложно. Иногда говорят (синонимно), что σ неразрешима из T ; это не то же самое значение « разрешимости », что и в проблеме решения .
Теория T является независимой , если каждая аксиома из T не доказуема из остальных аксиом из T . Теория, для которой существует независимый набор аксиом, является независимо аксиоматизируемой .
Некоторые авторы говорят, что σ не зависит от T , когда T просто не может доказать σ, и не обязательно утверждают при этом, что T не может опровергнуть σ. Эти авторы иногда говорят, что «σ не зависит от T и согласуется с ним », чтобы указать, что T не может ни доказать, ни опровергнуть σ.
Многие интересные утверждения в теории множеств не зависят от теории множеств Цермело–Френкеля (ZF). Известно, что следующие утверждения теории множеств не зависят от ZF в предположении, что ZF непротиворечив:
Следующие утверждения (ни одно из которых не было доказано ложным) не могут быть доказаны в ZFC (теория множеств Цермело – Френкеля плюс аксиома выбора) как независимые от ZFC при добавленной гипотезе о том, что ZFC непротиворечив.
Следующие утверждения несовместимы с аксиомой выбора и, следовательно, с ZFC. Однако они, вероятно, независимы от ZF в том же смысле, что и вышеизложенное: они не могут быть доказаны в ZF, и немногие работающие теоретики множеств надеются найти опровержение в ZF. Однако ZF не может доказать, что они независимы от ZF, даже с добавленной гипотезой о непротиворечивости ZF.
С 2000 года логическая независимость стала пониматься как имеющая решающее значение в основах физики. [1] [2]