Свойство коммутативности

Свойство некоторых математических операций

В математике бинарная операция коммутативна , если изменение порядка операндов не меняет результат. Это фундаментальное свойство многих бинарных операций, и многие математические доказательства зависят от него. Возможно, наиболее известное как свойство арифметики, например, "3 + 4 = 4 + 3" или "2 × 5 = 5 × 2" , это свойство также может использоваться в более сложных настройках. Название необходимо, поскольку существуют операции, такие как деление и вычитание , которые его не имеют (например, "3 − 5 ≠ 5 − 3" ); такие операции не являются коммутативными, и поэтому называются некоммутативными операциями . Идея о том, что простые операции, такие как умножение и сложение чисел, являются коммутативными, в течение многих лет неявно предполагалась. Таким образом, это свойство не было названо до 19 века, когда математика начала формализоваться. ^{[1] [2]} Аналогичное свойство существует для бинарных отношений ; Бинарное отношение называется симметричным, если отношение применяется независимо от порядка его операндов; например, равенство симметрично, поскольку два равных математических объекта равны независимо от их порядка. ^[3]

Математические определения

Бинарная операция на множестве S называется коммутативной, если ^{[4] [5]} Другими словами, операция коммутативна, если любые два элемента коммутируют. Операция, которая не удовлетворяет указанному выше свойству, называется некоммутативной . ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S.}$$

Говорят, что x коммутирует с y или что x и y коммутируют относительно если То есть определенная пара элементов может коммутировать, даже если операция (строго) некоммутативна. ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle x*y=y*x.}$$

Примеры

Накопление яблок, которое можно рассматривать как сложение натуральных чисел, является коммутативным.

Коммутативные операции

Сложение векторов коммутативно, потому что ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}.}$

• Сложение и умножение коммутативны в большинстве систем счисления , и, в частности, между натуральными числами , целыми числами , рациональными числами , действительными числами и комплексными числами . Это также верно в каждой области .
• Сложение коммутативно в любом векторном пространстве и в любой алгебре .
• Объединение и пересечение являются коммутативными операциями над множествами .
• « И » и « или » — коммутативные логические операции .

Некоммутативные операции

Деление, вычитание и возведение в степень

Деление некоммутативно, так как . ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$

Вычитание некоммутативно, так как . Однако более точно его можно классифицировать как антикоммутативное , так как . ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$ ${\displaystyle 0-1=-(1-0)}$

Возведение в степень некоммутативно, так как . Это свойство приводит к двум различным «обратным» операциям возведения в степень (а именно, операции извлечения корня n -й степени и операции логарифма ), тогда как умножение имеет только одну обратную операцию. ^[6] ${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$

Истинностные функции

Некоторые функции истинности некоммутативны, поскольку таблицы истинности для функций меняются при изменении порядка операндов. Например, таблицы истинности для (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) и (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) следующие :

Функциональная композиция линейных функций

Композиция функций линейных функций от действительных чисел к действительным числам почти всегда некоммутативна. Например, пусть и . Тогда и Это также применимо в более общем случае для линейных и аффинных преобразований из векторного пространства в себя (см. ниже представление Матрицы). ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ ${\displaystyle g(x)=3x+7}$ $${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$$ $${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$$

Умножение матриц

Матричное умножение квадратных матриц почти всегда некоммутативно, например: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$$

Векторный продукт

Векторное произведение (или перекрестное произведение ) двух векторов в трех измерениях является антикоммутативным , то есть b × a = −( a × b ).

История и этимология

Первое известное использование этого термина было во французском журнале, опубликованном в 1814 году.

Записи о неявном использовании коммутативного свойства восходят к древним временам. Египтяне использовали коммутативное свойство умножения для упрощения вычислений произведений . ^{[7] [8]} Известно, что Евклид предположил коммутативное свойство умножения в своей книге «Начала» . ^[9] Формальное использование коммутативного свойства возникло в конце 18-го и начале 19-го веков, когда математики начали работать над теорией функций. Сегодня коммутативное свойство является хорошо известным и основным свойством, используемым в большинстве разделов математики.

Первое зафиксированное использование термина коммутативный было в мемуарах Франсуа Сервуа в 1814 году, ^{[1] [10]} где слово коммутативный использовалось при описании функций, которые обладают тем, что сейчас называется коммутативным свойством. Коммутативный — это женская форма французского прилагательного commutatif , которое происходит от французского существительного commutation и французского глагола commuter , означающего «обмениваться» или «переключаться», родственного to commute . Затем этот термин появился в английском языке в 1838 году. ^[2] в статье Дункана Грегори под названием «О реальной природе символической алгебры», опубликованной в 1840 году в Transactions of the Royal Society of Edinburgh . ^[11]

Логика высказываний

Правило замены

В истинностно-функциональной пропозициональной логике коммутация ^[12] [ ^13] или коммутативность ^[14] относятся к двум допустимым правилам замены . Правила позволяют транспонировать пропозициональные переменные в логических выражениях в логических доказательствах . Правила таковы: и где " " — металогический символ, представляющий "можно заменить в доказательстве на". $${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$$ $${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Истина функциональные связки

Коммутативность является свойством некоторых логических связок истинностно-функциональной пропозициональной логики . Следующие логические эквивалентности показывают, что коммутативность является свойством конкретных связок. Ниже приведены истинностно-функциональные тавтологии .

Коммутативность конъюнкции

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

Коммутативность дизъюнкции

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

Коммутативность импликации (также называемая законом перестановки)

${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\leftrightarrow {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$

Коммутативность эквивалентности (также называемая полным коммутативным законом эквивалентности)

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

Теория множеств

В теории групп и множеств многие алгебраические структуры называются коммутативными, когда определенные операнды удовлетворяют свойству коммутативности. В высших разделах математики, таких как анализ и линейная алгебра, коммутативность известных операций (таких как сложение и умножение действительных и комплексных чисел) часто используется (или неявно предполагается) в доказательствах. ^{[15] [16] [17]}

Математические структуры и коммутативность

• Коммутативная полугруппа — это множество, наделенное тотальной, ассоциативной и коммутативной операцией.
• Если операция дополнительно имеет единичный элемент , то мы имеем коммутативный моноид
• Абелева группа , или коммутативная группа, — это группа , групповая операция которой коммутативна. ^[16]
• Коммутативное кольцо — это кольцо , умножение которого коммутативно. (Сложение в кольце всегда коммутативно.) ^[18]
• В поле и сложение, и умножение коммутативны. ^[19]

Связанные свойства

Ассоциативность

Ассоциативное свойство тесно связано со свойством коммутативности. Ассоциативное свойство выражения, содержащего два или более вхождения одного и того же оператора, утверждает, что порядок выполнения операций не влияет на конечный результат, пока порядок членов не меняется. Напротив, коммутативное свойство утверждает, что порядок членов не влияет на конечный результат.

Большинство коммутативных операций, встречающихся на практике, также ассоциативны. Однако коммутативность не подразумевает ассоциативность. Контрпримером является функция , которая явно коммутативна (перестановка x и y не влияет на результат), но не ассоциативна (так как, например, но ). Больше таких примеров можно найти в коммутативных неассоциативных магмах . Более того, ассоциативность также не подразумевает коммутативность — например, умножение кватернионов или матриц всегда ассоциативно, но не всегда коммутативно. $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}},}$$ ${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$ ${\displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$

Распределяемость

Симметрия

График, показывающий симметрию функции сложения

Некоторые формы симметрии могут быть напрямую связаны с коммутативностью. Когда коммутативная операция записана как бинарная функция , то эта функция называется симметричной функцией , а ее график в трехмерном пространстве симметричен относительно плоскости . Например, если функция f определена как, то является симметричной функцией. ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ ${\displaystyle f}$

Для отношений симметричное отношение аналогично коммутативной операции в том смысле, что если отношение R симметрично, то . ${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$

Некоммутирующие операторы в квантовой механике

В квантовой механике , сформулированной Шредингером , физические переменные представлены линейными операторами, такими как (имеется в виду умножение на ), и . Эти два оператора не коммутируют, как можно увидеть, рассмотрев влияние их композиций и (также называемых произведениями операторов) на одномерную волновую функцию : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle x{\frac {d}{dx}}}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}x}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ $${\displaystyle x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)}$$

Согласно принципу неопределенности Гейзенберга , если два оператора , представляющие пару переменных, не коммутируют, то эта пара переменных взаимно дополняется , что означает, что они не могут быть одновременно измерены или точно известны. Например, положение и линейный импульс в -направлении частицы представлены операторами и , соответственно (где - приведенная постоянная Планка ). Это тот же пример, за исключением константы , поэтому снова операторы не коммутируют, и физический смысл состоит в том, что положение и линейный импульс в заданном направлении являются дополнительными. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle -i\hbar }$

Смотрите также

• Антикоммутативное свойство
• Централизатор и нормализатор (также называемый коммутантом)
• Коммутативная диаграмма
• Коммутативный (нейрофизиология)
• Коммутатор
• Закон параллелограмма
• Статистика частиц (для коммутативности в физике )
• Доказательство того, что аксиомы Пеано подразумевают коммутативность сложения натуральных чисел
• Квазикоммутативное свойство
• Моноид трассировки
• Вероятность поездок на работу

Примечания

1. Cabillon & Miller, Коммутативный и распределительный
2. Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin , ред. (2011). Математика в викторианской Британии. Oxford University Press . стр. 4. ISBN 9780191627941.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Симметричное отношение». MathWorld .
4. Krowne, стр. 1
5. Вайсштейн, Commute , стр. 1
6. "Пользователь MathematicalOrchid". Mathematics Stack Exchange . Получено 20 января 2024 г.
7. Лампкин 1997, стр. 11
8. Гей и Шут 1987
9. О'Коннер и Робертсон Действительные числа
10. О'Коннер и Робертсон, Сервуа
11. Грегори, ДФ (1840). «О реальной природе символической алгебры». Труды Королевского общества Эдинбурга . 14 : 208–216.
12. Мур и Паркер
13. Копи и Коэн 2005
14. Херли и Уотсон 2016
15. Акслер 1997, стр. 2
16. Gallian 2006, стр. 34
17. Галлиан 2006, стр. 26, 87
18. Галлиан 2006, стр. 236
19. Галлиан 2006, стр. 250

Ссылки

Книги

• Акслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра, сделанная правильно, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2.

  Теория абстрактной алгебры. Охватывает коммутативность в этом контексте. Использует свойство на протяжении всей книги.

• Копи, Ирвинг М.; Коэн, Карл (2005). Введение в логику (12-е изд.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349.
• Галлиан, Джозеф (2006). Contemporary Abstract Algebra (6-е изд.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

  Теория линейной алгебры. Объясняет коммутативность в главе 1, использует ее повсюду.

• Гудман, Фредерик (2003). Алгебра: абстрактная и конкретная, подчеркивающая симметрию (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

  Теория абстрактной алгебры. Использует свойство коммутативности на протяжении всей книги.

• Херли, Патрик Дж.; Уотсон, Лори (2016). Краткое введение в логику (12-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1.

Статьи

• Лампкин, Б. (1997). «Математическое наследие Древнего Египта – ответ Роберту Палтеру» (PDF) (Неопубликованная рукопись). Архивировано из оригинала (PDF) 13 июля 2007 г.

  Статья, описывающая математические способности древних цивилизаций.

• Гей, Робинс Р.; Шют , Чарльз К. Д. (1987). Математический папирус Ринда: Древний египетский текст . Британский музей. ISBN 0-7141-0944-4.

  Перевод и толкование математического папируса Ринда .

Интернет-ресурсы

• «Коммутативность», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Кроун, Аарон, Commutative at PlanetMath ., дата обращения 8 августа 2007 г.

  Определение коммутативности и примеры коммутативных операций

• Вайсштейн, Эрик В. «Путешествие на работу». Математический мир ., Доступ 8 августа 2007 г.

  Объяснение термина «коммутировать»

• «Ярк».Примеры некоммутативных операций на PlanetMath ., доступ 8 августа 2007 г.

  Примеры, доказывающие некоторые некоммутативные операции

• О'Коннер, Дж. Дж.; Робертсон, Э. Ф. "История действительных чисел". MacTutor . Получено 8 августа 2007 г. .

  Статья, дающая историю действительных чисел

• Кабильон, Хулио; Миллер, Джефф. "Самые ранние известные применения математических терминов" . Получено 22 ноября 2008 г.

  Страница, посвященная самым ранним случаям использования математических терминов

• O'Conner, JJ; Robertson, EF "биография Франсуа Сервуа". MacTutor . Архивировано из оригинала 2 сентября 2009 . Получено 8 августа 2007 .

  Биография Франсуа Сервуа, который первым использовал этот термин