Нелинейный резонанс

Физическое явление

В физике нелинейный резонанс — это возникновение резонанса в нелинейной системе . В нелинейном резонансе поведение системы – резонансные частоты и моды – зависит от амплитуды колебаний , тогда как для линейных систем оно не зависит от амплитуды. Смешение мод в нелинейных системах называется резонансным взаимодействием .

Описание

Вообще следует различать два типа резонансов – линейные и нелинейные. С физической точки зрения они определяются тем, совпадает ли внешняя сила с собственной частотой системы (линейный и нелинейный резонанс соответственно). Колебательные моды могут взаимодействовать в резонансном взаимодействии , когда сохраняются как энергия, так и импульс взаимодействующих мод. Сохранение энергии подразумевает, что сумма частот мод должна быть равна нулю:

${\displaystyle \omega _{n}=\omega _{1}+\omega _{2}+\cdots +\omega _{n-1},}$

с, возможно, разными собственными частотами линейной части некоторого нелинейного уравнения в частных производных . – волновой вектор, связанный с модой; целочисленные индексы являются индексами гармоник Фурье – или собственных мод – см. ряд Фурье . Соответственно, условие частотного резонанса эквивалентно диофантовому уравнению со многими неизвестными. Проблема поиска их решений эквивалентна десятой проблеме Гильберта, которая оказывается алгоритмически неразрешимой. ${\displaystyle \omega _{i}=\omega (\mathbf {k} _{i}),}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Основными понятиями и результатами теории нелинейных резонансов являются: ^[1]

1. Использование дисперсионных соотношений , встречающихся в различных физических приложениях, позволяет находить решения условия частотного резонанса. ${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} )}$
2. Совокупность резонансов при заданной дисперсионной функции и виде условий резонанса разбивается на непересекающиеся резонансные кластеры; динамику каждого кластера можно изучать независимо (в соответствующий временной масштаб). Их часто называют «связанными волнами», которые не могут взаимодействовать, в отличие от «свободных волн», которые могут. Известным примером является солитон уравнения КдВ : солитоны могут перемещаться друг через друга, не взаимодействуя. При разложении на собственные моды более высокочастотные моды солитона не взаимодействуют (не удовлетворяют уравнениям резонансного взаимодействия ), они «привязаны» к основной. ^[2]
3. Каждую совокупность связанных мод (резонансный кластер) можно представить своей NR-диаграммой, которая представляет собой плоский граф специальной структуры. Такое представление позволяет однозначно восстановить 3а) динамическую систему , описывающую нестационарное поведение кластера, и 3б) совокупность его полиномиальных законов сохранения; это обобщение констант движения Мэнли–Роу для простейших кластеров ( триад и квартетов).
4. Динамические системы, описывающие некоторые типы кластеров, могут быть решены аналитически; это точно решаемые модели .
5. Эти теоретические результаты могут быть непосредственно использованы для описания реальных физических явлений (например, внутрисезонных колебаний в атмосфере Земли) или различных волновых турбулентных режимов в теории волновой турбулентности . Еще много примеров приведено в статье о резонансных взаимодействиях .

Нелинейный резонансный сдвиг

Эффект складывания

Нелинейные эффекты могут существенно изменить форму резонансных кривых гармонических осцилляторов . Прежде всего, резонансная частота смещается от своего «естественного» значения по формуле ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\kappa A^{2},}$

где – амплитуда колебаний, – константа, определяемая ангармоническими коэффициентами. Во-вторых, искажается форма резонансной кривой ( фолдовер-эффект ). Когда амплитуда (синусоидальной) внешней силы достигает критического значения, появляются неустойчивости. Критическое значение определяется формулой ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }}$

${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }={\frac {4m^{2}\omega _{0}^{2}\gamma ^{3}}{3{\sqrt {3}}\kappa }},}$

где – масса осциллятора, – коэффициент затухания. Кроме того, возникают новые резонансы, в которых колебания с частотой, близкой к, возбуждаются внешней силой с частотой, совершенно отличной от ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}.}$

Нелинейные функции частотной характеристики

Обобщенные функции частотной характеристики и нелинейные функции выходной частотной характеристики ^[3] позволяют пользователю принципиально изучать сложное нелинейное поведение в частотной области. Эти функции выявляют резонансные гребни, гармоники , интермодуляцию и эффекты переноса энергии таким образом, что пользователь может связать эти термины из сложных нелинейных моделей с дискретным и непрерывным временем в частотную область и наоборот.

Смотрите также

• Уравнение Даффинга
• Волновая турбулентность

Примечания и ссылки

Примечания

1. Карташова, Е. (2010), Нелинейный резонансный анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76360-8
2. Янссен, PAEM (2009). «О некоторых следствиях канонического преобразования в гамильтоновой теории волн на воде». Дж. Гидромеханика . 637 : 1–44. Бибкод : 2009JFM...637....1J. дои : 10.1017/S0022112009008131. S2CID  122752276.
3. Биллингс С.А. «Идентификация нелинейных систем: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях». Уайли, 2013 г.

Рекомендации

• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8, (твердый переплет).и (мягкий переплет)
• Раджасекар, С.; Санджуан, MAF (2016), Нелинейные резонансы (1-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-24886-8, (электронная книга)

Внешние ссылки

• Элмер, Франц-Иосиф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс, Базельский университет , получено 27 октября 2010 г.