Необоснованные теории множеств — это варианты аксиоматической теории множеств , которые позволяют множествам быть элементами самих себя и в противном случае нарушают правило обоснованности . В необоснованных теориях множеств аксиома основания ZFC заменяется аксиомами, подразумевающими ее отрицание .
Изучение не вполне обоснованных множеств было начато Дмитрием Миримановым в серии статей между 1917 и 1920 годами, в которых он сформулировал различие между вполне обоснованными и не вполне обоснованными множествами; он не считал обоснованность аксиомой . Хотя впоследствии был предложен ряд аксиоматических систем не вполне обоснованных множеств, они не нашли широкого применения, пока в 1988 году книга Не вполне обоснованные множества Питера Ацеля не ввела теорию гипермножеств. [1] [2] [3]
Теория не вполне обоснованных множеств применялась в логическом моделировании незавершающихся вычислительных процессов в информатике ( алгебра процессов и конечная семантика), лингвистике и семантике естественного языка ( теория ситуаций ), философии (работа над парадоксом лжеца ) и в другой обстановке, нестандартном анализе . [4]
В 1917 году Дмитрий Мириманов ввел [5] [6] [7] [8] понятие обоснованности множества:
В ZFC нет бесконечной нисходящей ∈-последовательности по аксиоме регулярности . Фактически, аксиому регулярности часто называют аксиомой основания , поскольку в ZFC − (то есть ZFC без аксиомы регулярности) можно доказать , что обоснованность влечет регулярность. В вариантах ZFC без аксиомы регулярности возникает возможность необоснованных множеств с ∈-цепями, подобными множествам. Например, множество A , такое что A ∈ A, не является обоснованным.
Хотя Мириманофф также ввел понятие изоморфизма между, возможно, не вполне обоснованными множествами, он не рассматривал ни аксиому основания, ни антиоснования. [7] В 1926 году Пол Финслер ввел первую аксиому, которая допускала не вполне обоснованные множества. После того, как Цермело принял Основание в свою собственную систему в 1930 году (из предыдущей работы фон Неймана 1925–1929), интерес к не вполне обоснованным множествам угас на десятилетия. [9] Ранней не вполне обоснованной теорией множеств была « Новые основания » Уилларда Ван Ормана Куайна , хотя это не просто ZF с заменой Основания.
Несколько доказательств независимости Foundation от остальной части ZF были опубликованы в 1950-х годах, в частности Полом Бернайсом (1954), после объявления результата в его более ранней статье от 1941 года, и Эрнстом Шпеккером , который дал другое доказательство в своем Habilitationsschrift 1951 года, доказательство, которое было опубликовано в 1957 году. Затем в 1957 году была опубликована теорема Ригера, которая давала общий метод для проведения такого доказательства, возрождая некоторый интерес к не вполне обоснованным аксиоматическим системам. [10] Следующее предложение об аксиоме появилось в докладе на конгрессе 1960 года Даны Скотта (никогда не опубликованном в качестве статьи), предлагавшего альтернативную аксиому, которая теперь называется SAFA. [11] Другой аксиомой, предложенной в конце 1960-х годов, была аксиома Мориса Боффы о сверхуниверсальности, описанная Ацелем как вершина исследований этого десятилетия. [12] Идея Боффы состояла в том, чтобы сделать так, чтобы основание было несостоятельным настолько, насколько это возможно (или, скорее, насколько это позволяет экстенсиональность): аксиома Боффы подразумевает, что каждое экстенсиональное отношение , подобное множеству, изоморфно предикату элементности в транзитивном классе.
Более поздний подход к теории множеств, не являющихся хорошо обоснованными, впервые предложенный М. Форти и Ф. Хонселлом в 1980-х годах, заимствует из компьютерной науки концепцию бисимуляции . Бисимуляционные множества считаются неразличимыми и, таким образом, равными, что приводит к усилению аксиомы экстенсиональности . В этом контексте аксиомы, противоречащие аксиоме регулярности, называются аксиомами антиоснования , а множество, которое не обязательно является хорошо обоснованным, называется гипермножеством .
Хорошо известны четыре взаимно независимые антиосновные аксиомы, иногда их сокращают по первой букве в следующем списке:
Они по сути соответствуют четырем различным понятиям равенства для не вполне обоснованных множеств. Первое из них, AFA, основано на доступных точечных графах (apg) и утверждает, что два гипермножества равны тогда и только тогда, когда их можно изобразить одним и тем же apg. В рамках этой структуры можно показать, что так называемый атом Куайна , формально определяемый как Q={Q}, существует и является уникальным.
Каждая из приведенных выше аксиом расширяет вселенную предыдущей, так что: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. Во вселенной Боффа отдельные атомы Куайна образуют собственный класс. [13]
Стоит подчеркнуть, что теория гипермножеств является расширением классической теории множеств, а не ее заменой: хорошо обоснованные множества в области гипермножеств соответствуют классической теории множеств.
В опубликованных исследованиях не вполне обоснованные множества также называются гипермножествами, параллельно с гипердействительными числами нестандартного анализа . [14] [15]
Гипермножества широко использовались Джоном Барвайзом и Джоном Этчеменди в их книге 1987 года «Лжец» , посвященной парадоксу лжеца . Предложения книги внесли вклад в теорию истины . [14] Книга также является хорошим введением в тему не вполне обоснованных множеств. [14]
