Особая точка кривой

Точка на кривой, не заданная гладким вложением параметра

В геометрии особая точка на кривой — это та, где кривая не задана гладким вложением параметра . Точное определение особой точки зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые на плоскости

Алгебраические кривые на плоскости можно определить как множество точек ( x , y ), удовлетворяющих уравнению вида где f — полиномиальная функция ⁠ ⁠ Если f разлагается как Если начало координат (0, 0) находится на кривой, то a ₀ = 0 . Если b ₁ ≠ 0 , то теорема о неявной функции гарантирует, что существует гладкая функция h, так что кривая имеет вид y = h ( x ) вблизи начала координат. Аналогично, если b ₀ ≠ 0 , то существует гладкая функция k , так что кривая имеет вид x = k ( y ) вблизи начала координат. В любом случае существует гладкое отображение из ⁠ ⁠ в плоскость, которое определяет кривую в окрестности начала координат. Обратите внимание, что в начале координат кривая является неособой или регулярной в начале координат, если хотя бы одна из частных производных f не равна нулю. Особые точки — это те точки на кривой, где обе частные производные обращаются в нуль, ${\displaystyle f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$ $${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},}$$ $${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$$

Регулярные баллы

Предположим, что кривая проходит через начало координат и запишем Тогда f можно записать Если не равно 0, то f = 0 имеет решение кратности 1 при x = 0 , а начало координат является точкой однократного касания с прямой Если тогда f = 0 имеет решение кратности 2 или выше, а прямая или касается кривой. В этом случае, если не равно 0, то кривая имеет точку двойного касания с Если коэффициент при x ² равен 0 , но коэффициент при x ³ не равен 0, то начало координат является точкой перегиба кривой. Если коэффициенты при x ² и x ³ оба равны 0, то начало координат называется точкой волнистости кривой. Этот анализ можно применить к любой точке на кривой, переместив оси координат так, чтобы начало координат находилось в заданной точке. ^[1] ${\displaystyle y=mx.}$ $${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .}$$ ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}=0}$ ${\displaystyle y=mx,}$ ${\displaystyle b_{0}x+b_{1}y=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},}$

Двойные очки

Три лимасона, иллюстрирующие типы двойной точки. При преобразовании в декартовы координаты левая кривая приобретает акноду в начале координат, которая является изолированной точкой на плоскости. Центральная кривая, кардиоида , имеет точку возврата в начале координат. Правая кривая имеет крунуду в начале координат, и кривая пересекает сама себя, образуя петлю. ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(1.5)^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

Если b ₀ и b ₁ оба равны 0 в приведенном выше расширении, но по крайней мере один из c ₀ , c ₁ , c ₂ не равен 0, то начало координат называется двойной точкой кривой. Снова записав f, можно записать Двойные точки можно классифицировать в соответствии с решениями ${\displaystyle y=mx,}$ $${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}$$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Круноды

Если имеет два действительных решения для m , то есть если то начало координат называется крунодой . Кривая в этом случае пересекает себя в начале координат и имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям В этом случае функция f имеет седловую точку в начале координат. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Акнодес

Если не имеет действительных решений для m , то есть если то начало координат называется acnode . В действительной плоскости начало координат является изолированной точкой на кривой; однако, если рассматривать его как сложную кривую, начало координат не является изолированным и имеет две мнимые касательные, соответствующие двум комплексным решениям В этом случае функция f имеет локальный экстремум в начале координат. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Бугорки

Если имеет единственное решение кратности 2 для m , то есть если то начало координат называется точкой возврата . В этом случае кривая меняет направление в начале координат, создавая острую точку. Кривая имеет одну касательную в начале координат, которую можно рассматривать как две совпадающие касательные. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}$

Дальнейшая классификация

Термин узел используется для обозначения либо crunode, либо acnode, другими словами, двойной точки, которая не является каспом. Количество узлов и количество каспов на кривой являются двумя инвариантами, используемыми в формулах Плюккера .

Если одно из решений также является решением , то соответствующая ветвь кривой имеет точку перегиба в начале координат. В этом случае начало координат называется флекнодом . Если обе касательные обладают этим свойством, то есть множитель , то начало координат называется бифлекнодом . ^[2] ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}$

Несколько точек

Кривая с тройной точкой в ​​начале координат: x ( t ) = sin(2 t ) + cos( t ) , y ( t ) = sin( t ) + cos(2 t )

В общем случае, если все члены степени меньше k равны 0, и хотя бы один член степени k не равен 0 в f , то говорят, что кривая имеет кратную точку порядка k или точку k-ple . Кривая будет иметь, в общем случае, k касательных в начале координат, хотя некоторые из этих касательных могут быть мнимыми. ^[3]

Параметрические кривые

Параметризованная кривая в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ определяется как изображение функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},}$ Особыми точками являются те точки, где ${\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).}$ $${\displaystyle {\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.}$$

Острие в полукубической параболе ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$

Многие кривые могут быть определены любым из этих способов, но эти два определения могут не совпадать. Например, касп может быть определен на алгебраической кривой или на параметризованной кривой, Оба определения дают особую точку в начале координат. Однако узел , такой как узел в начале координат, является особой точкой кривой, рассматриваемой как алгебраическая кривая, но если мы параметризуем ее как , то ⁠ ⁠ никогда не исчезает, и, следовательно, узел не является особой точкой параметризованной кривой, как определено выше. ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3}).}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),}$ ${\displaystyle g'(t)}$

При выборе параметризации следует соблюдать осторожность. Например, прямая линия y = 0 может быть параметризована с помощью , которая имеет особенность в начале координат. При параметризации с помощью она неособая. Следовательно, технически правильнее обсуждать здесь особые точки гладкого отображения, а не особую точку кривой. ${\displaystyle g(t)=(t^{3},0),}$ ${\displaystyle g(t)=(t,0),}$

Вышеприведенные определения могут быть расширены для покрытия неявных кривых , которые определяются как нулевое множество ⁠ ⁠ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$гладкой функции , и не обязательно рассматривать только алгебраические многообразия. Определения могут быть расширены для покрытия кривых в более высоких размерностях.

Теорема Хасслера Уитни ^{[4] [5]} гласит:

Теорема  —  Любое замкнутое множество в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ возникает как множество решений ⁠ ⁠ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ для некоторой гладкой функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} .}$

Любая параметризованная кривая может быть также определена как неявная кривая, а классификация особых точек кривых может быть изучена как классификация особых точек алгебраического многообразия .

Типы особых точек

Некоторые из возможных особенностей:

• Изолированная точка : акнод ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0,}$
• Две пересекающиеся линии : крунод ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0,}$
• Острие : также называется спинодом ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$
• Такнод :​ ${\displaystyle x^{4}-y^{2}=0}$
• Рамфовидный бугорок : ${\displaystyle x^{5}-y^{2}=0.}$

Смотрите также

• Особая точка алгебраического многообразия
• Теория сингулярности
• теория Морзе

Ссылки

1. Хилтон Глава II §1
2. Хилтон Глава II §2
3. Хилтон Глава II §3
4. Th. Bröcker, Differentiable Germs and Catastrophes , Лондонское математическое общество. Заметки лекций 17. Кембридж, (1975)
5. Брюс и Гиблин, Кривые и сингулярности , (1984, 1992) ISBN  0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (мягкая обложка) 

• Хилтон, Гарольд (1920). «Глава II: Особые точки». Плоские алгебраические кривые. Оксфорд.