stringtranslate.com

Несвязное объединение

В математике непересекающееся объединение (или дискриминированное объединение ) множеств A и B — это множество, образованное из элементов A и B, помеченных (индексированных) именем множества, из которого они происходят. Таким образом, элемент, принадлежащий как A , так и B, появляется дважды в непересекающемся объединении с двумя разными метками.

Непересекающееся объединение индексированного семейства множеств — это множество, часто обозначаемое с инъекцией каждого в , так что образы этих инъекций образуют разбиение ( то есть каждый элемент принадлежит ровно одному из этих образов). Непересекающееся объединение семейства попарно непересекающихся множеств — это их объединение .

В теории категорий непересекающееся объединение является копроизведением категории множеств и, таким образом, определяется с точностью до биекции . В этом контексте часто используется обозначение .

Непересекающееся объединение двух множеств и записывается с помощью инфиксной записи как . Некоторые авторы используют альтернативную запись или (вместе с соответствующим или ).

Стандартный способ построения несвязного объединения — определить как множество упорядоченных пар, таких что и инъекцию как

Пример

Рассмотрим наборы и Можно индексировать элементы набора в соответствии с началом набора, формируя связанные наборы.

где второй элемент в каждой паре соответствует нижнему индексу исходного набора (например, in соответствует нижнему индексу in и т. д.). Затем непересекающееся объединение можно вычислить следующим образом:

Определение теории множеств

Формально, пусть — индексированное семейство множеств, индексированное по Непересекающееся объединение этого семейства — это множество Элементы непересекающегося объединения — упорядоченные пары Здесь служит вспомогательным индексом, указывающим, откуда взялся элемент .

Каждое из множеств канонически изоморфно множеству Благодаря этому изоморфизму можно считать, что канонически вложено в непересекающееся объединение. Так как множества и являются непересекающимися, даже если множества и не являются таковыми.

В предельном случае , когда каждый из равен некоторому фиксированному набору для каждого, то непересекающееся объединение является декартовым произведением и :

Иногда эта нотация используется для непересекающегося объединения семейства множеств или для непересекающегося объединения двух множеств. Эта нотация подразумевает, что мощность непересекающегося объединения равна сумме мощностей членов семейства. Сравните это с нотацией для декартова произведения семейства множеств.

На языке теории категорий дизъюнктное объединение является копроизведением в категории множеств . Поэтому оно удовлетворяет связанному универсальному свойству . Это также означает, что дизъюнктное объединение является категорическим двойственным к конструкции декартова произведения . Подробнее см. в Копроизведении .

Для многих целей конкретный выбор вспомогательного индекса не важен, и в упрощенном злоупотреблении обозначением индексированное семейство можно рассматривать просто как коллекцию множеств. В этом случае упоминается как копия и иногда используется обозначение .

Точка зрения теории категорий

В теории категорий дизъюнктное объединение определяется как копроизведение в категории множеств.

Таким образом, непересекающееся объединение определяется с точностью до изоморфизма, и приведенное выше определение является лишь одной из реализаций копроизведения среди прочих. Когда множества попарно непересекающиеся, обычное объединение является другой реализацией копроизведения. Это оправдывает второе определение в начале.

Этот категориальный аспект дизъюнктного объединения объясняет, почему его часто используют вместо обозначения копроизведения .

Смотрите также

Ссылки