В геометрии вертушки — это непериодические мозаики, определенные Чарльзом Радином и основанные на конструкции Джона Конвея . Это первые известные непериодические мозаики, каждая из которых обладает тем свойством, что их плитки появляются в бесконечном количестве ориентаций.
Пусть – прямоугольный треугольник с длиной стороны , и . Конвей заметил, что его изображение можно разделить на пять изометрических копий путем расширения фактора .
Путем соответствующего изменения масштаба и перемещения/вращения эту операцию можно повторять для получения бесконечной возрастающей последовательности растущих треугольников, состоящих из изометрических копий . Объединение всех этих треугольников дает замощение всей плоскости изометрическими копиями .
В этом мозаике изометрические копии появляются в бесконечном числе ориентаций (это связано с тем, что углы и каждая из них алгебраически независимы от вещественных чисел ) . Несмотря на это, все вершины имеют рациональные координаты.
Радин полагался на приведенную выше конструкцию Конвея для определения мозаики вертушки. Формально, мозаики-вертушки — это мозаики, плитки которых являются изометрическими копиями , в которых плитка может пересекать другую плитку только либо по всей стороне, либо по половине длины стороны, и такие, что выполняется следующее свойство. Учитывая любую мозаику-вертушку , существует мозаика-вертушка , которая после того, как каждая плитка разделена на пять в соответствии с конструкцией Конвея и результат расширен в коэффициент , будет равен . Другими словами, плитки любых мозаик-вертушек можно сгруппировать в наборы по пять в однородные плитки, так что эти гомотетические плитки образуют (с точностью до масштабирования) новую мозаику-вертушку.
Замощение, построенное Конвеем, представляет собой замощение в виде вертушки, но существует бесчисленное множество других различных замощений в виде вертушки. Все они локально неразличимы ( т. е . имеют одинаковые конечные участки). Все они имеют общее с плиткой Конвея то свойство, что плитки появляются в бесконечном числе ориентаций (и вершины имеют рациональные координаты).
Главный результат, доказанный Радином, состоит в том, что существует конечное (хотя и очень большое) множество так называемых прототайлов, каждый из которых получается раскраской сторон , так что мозаики вертушки являются в точности мозаиками плоскости изометрическими копиями эти прототипы с условием, что всякий раз, когда две копии пересекаются в какой-то точке, они имеют в этой точке одинаковый цвет. [1] С точки зрения символической динамики это означает, что мозаика вертушки образует софический подсдвиг .
Радин и Конвей предложили трехмерный аналог, получивший название квакваверсальной мозаики . [2] Существуют и другие варианты и обобщения исходной идеи. [3]
Фрактал получают путем итеративного деления на пять изометрических копий, следуя конструкции Конвея и отбрасывая средний треугольник ( до бесконечности ). Этот «фрактал-вертушка» имеет хаусдорфову размерность .
Площадь Федерации , комплекс зданий в Мельбурне, Австралия, украшен плиткой в виде вертушки. В проекте рисунок плитки используется для создания структурного каркаса фасадов, что позволяет изготовить фасады за пределами объекта, на заводе, а затем возвести их для формирования фасадов. Система черепицы «вертушка» была основана на единственном треугольном элементе, состоящем из цинка, перфорированного цинка, песчаника или стекла (известного как плитка), который был соединен с четырьмя другими аналогичными плитками на алюминиевой раме, образуя «панель». Пять панелей были прикреплены к каркасу из оцинкованной стали, образуя «мегапанель», которую затем подняли на опорные рамы фасада. Вращательное расположение плиток придает фасадам более случайную, неопределенную композиционность, хотя процесс их возведения основан на предварительном изготовлении и повторении. Та же самая система вертушки используется при разработке каркаса и остекления «Атриума» на площади Федерации, хотя в этом случае сетка вертушки была сделана «трехмерной», чтобы сформировать структуру рамы портала.
