Непрерывное функциональное исчисление

В математике , в частности в теории операторов и теории C*-алгебры , непрерывное функциональное исчисление — это функциональное исчисление , которое позволяет применять непрерывную функцию к нормальным элементам C*-алгебры.

В продвинутой теории приложения этого функционального исчисления настолько естественны, что их часто даже не упоминают. Не будет преувеличением сказать, что непрерывное функциональное исчисление проводит различие между C*-алгебрами и общими банаховыми алгебрами , в которых существует только голоморфное функциональное исчисление .

Мотивация

Если требуется расширить естественное функциональное исчисление для многочленов на спектре элемента банаховой алгебры до функционального исчисления для непрерывных функций на спектре, то кажется очевидным аппроксимировать непрерывную функцию многочленами согласно теореме Стоуна-Вейерштрасса , вставить элемент в эти многочлены и показать, что эта последовательность элементов сходится к . Непрерывные функции на аппроксимируются многочленами по и , т. е. многочленами вида . Здесь обозначает комплексное сопряжение , которое является инволюцией на комплексных числах . ^[1] Чтобы иметь возможность вставить вместо в такого рода многочлен, рассматриваются банаховы *-алгебры , т. е. банаховы алгебры, которые также имеют инволюцию *, и вставляется вместо . Для того чтобы получить гомоморфизм , необходимо ограничение на нормальные элементы, т. е. элементы с , поскольку кольцо многочленов коммутативно . Если — последовательность многочленов , равномерно сходящаяся на к непрерывной функции , то должна быть обеспечена сходимость последовательности в к элементу . Подробный анализ этой проблемы сходимости показывает, что необходимо прибегнуть к C*-алгебрам. Эти соображения приводят к так называемому непрерывному функциональному исчислению. ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}$ ${\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f(a)}$

Теорема

непрерывное функциональное исчисление  —  Пусть будет нормальным элементом C*-алгебры с единичным элементом и пусть будет коммутативной C*-алгеброй непрерывных функций на , спектр . Тогда существует ровно один *-гомоморфизм с для и для тождества . ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Phi _{a}\colon C(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}(z)=1}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a}$

Отображение называется непрерывным функциональным исчислением нормального элемента . Обычно оно задается предположительно . ^[3] ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a):=\Phi _{a}(f)}$

Ввиду свойства *-гомоморфизма, следующие правила вычисления применяются ко всем функциям и скалярам : ^[4] ${\displaystyle f,g\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$

Поэтому можно представить себе фактическую вставку нормальных элементов в непрерывные функции; очевидные алгебраические операции ведут себя так, как и ожидалось.

Требование единичного элемента не является существенным ограничением. При необходимости единичный элемент может быть присоединен , что даст расширенную C*-алгебру . Тогда если и с , то следует, что и . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}}$

Существование и единственность непрерывного функционального исчисления доказываются отдельно:

• Существование: Поскольку спектр в C* -подалгебре , порожденной и , такой же, как и в , достаточно показать утверждение для . ^[6] Фактическая конструкция почти немедленно следует из представления Гельфанда : достаточно предположить, что является C*-алгеброй непрерывных функций на некотором компактном пространстве и определить . ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(f)=f\circ x}$

• Уникальность: Поскольку и фиксированы, то уже однозначно определено для всех многочленов , поскольку является *-гомоморфизмом. Они образуют плотную подалгебру по теореме Стоуна-Вейерштрасса. Таким образом, является уникальным. ^[7] ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$

В функциональном анализе часто представляет интерес непрерывное функциональное исчисление для нормального оператора , т.е. случай, когда есть C*-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . В литературе непрерывное функциональное исчисление часто доказывается только для самосопряженных операторов в этой постановке. В этом случае доказательство не нуждается в представлении Гельфанда . ^[8] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle H}$

Дополнительные свойства непрерывного функционального исчисления

Непрерывное функциональное исчисление является изометрическим изоморфизмом в C*-подалгебру, порожденную и , то есть: ^[7] ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

• ${\displaystyle \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}}$для всех ; следовательно, непрерывно. ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$
• ${\displaystyle \Phi _{a}\left(C(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}}}$

Так как является нормальным элементом , то C*-подалгебра, порожденная и является коммутативной. В частности, является нормальным и все элементы функционального исчисления коммутируют. ^[9] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f(a)}$

Голоморфное функциональное исчисление однозначно расширяется непрерывным функциональным исчислением . [ ^10] Поэтому для полиномов непрерывное функциональное исчисление соответствует естественному функциональному исчислению для полиномов: для всех с . ^[3] ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})}$ ${\textstyle \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l}}$ ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}$ ${\displaystyle c_{k,l}\in \mathbb {C} }$

Для последовательности функций , которая сходится равномерно на к функции , сходится к . ^[11] Для степенного ряда , который сходится абсолютно равномерно на , поэтому выполняется . ^[12] ${\displaystyle f_{n}\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle f_{n}(a)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$

Если и , то для их композиции выполняется . ^[5] Если — два нормальных элемента с и — обратная функция от и , то , поскольку . ^[13] ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}$ ${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (b)}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$

Теорема спектрального отображения применима: для всех . ^[7] ${\displaystyle \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

Если справедливо для , то справедливо и для всех , т.е. если коммутирует с , то также с соответствующими элементами непрерывного функционального исчисления . ^[14] ${\displaystyle ab=ba}$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f(a)b=bf(a)}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)}$

Пусть — унитальный *-гомоморфизм между C*-алгебрами и . Тогда коммутирует с непрерывным функциональным исчислением. Справедливо следующее: для всех . В частности, непрерывное функциональное исчисление коммутирует с представлением Гельфанда. ^[4] ${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi (f(a))=f(\Psi (a))}$ ${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

С помощью теоремы о спектральном отображении функции с определенными свойствами могут быть напрямую связаны с определенными свойствами элементов C*-алгебр: ^[15]

• ${\displaystyle f(a)}$обратим тогда и только тогда, когда не имеет нуля на . ^[16] Тогда выполняется. ^[17] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$

• ${\displaystyle f(a)}$является самосопряженным тогда и только тогда, когда является вещественнозначным , т.е. . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(a)}$является положительным ( ) тогда и только тогда, когда , т.е. . ${\displaystyle f(a)\geq 0}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$
• ${\displaystyle f(a)}$является унитарным, если все значения лежат в группе окружности , т.е. . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle f(a)}$является проекцией , если принимает только значения и , т.е. . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$

Они основаны на утверждениях о спектре определенных элементов, которые приведены в разделе «Приложения».

В частном случае, который является C*-алгеброй ограниченных операторов для гильбертова пространства , собственные векторы для собственного значения нормального оператора также являются собственными векторами для собственного значения оператора . Если , то также справедливо для всех . ^[18] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v\in H}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$ ${\displaystyle f(T)}$ ${\displaystyle Tv=\lambda v}$ ${\displaystyle f(T)v=f(\lambda )v}$ ${\displaystyle f\in \sigma (T)}$

Приложения

Следующие приложения являются типичными и очень простыми примерами многочисленных приложений непрерывного функционального исчисления:

Спектр

Пусть будет C*-алгеброй и нормальным элементом. Тогда к спектру применимо следующее : ^[15] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$

• ${\displaystyle a}$является самосопряженным тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle a}$является унитарным тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle a}$является проекцией тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

Доказательство. ^[3] Непрерывное функциональное исчисление для нормального элемента является *-гомоморфизмом с и, таким образом, является самосопряженным/унитарным/проекцией, если также является самосопряженным/унитарным/проекцией. Точно тогда является самосопряженным, если выполняется для всех , т.е. если является действительным. Точно тогда является унитарным, если выполняется для всех , следовательно . Точно тогда является проекцией тогда и только тогда, когда , то есть для всех , т.е. ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} )=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} \in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}}}$ ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle {\text{Id}}}$ ${\displaystyle 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2}}$ ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}$ ${\displaystyle {\text{Id}}}$ ${\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z)}}$ ${\displaystyle z^{2}=z={\overline {z}}}$ ${\displaystyle z\in \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

Корни

Пусть будет положительным элементом C*-алгебры . Тогда для каждого существует однозначно определенный положительный элемент с , т.е. единственный -й корень. ^[19] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n}$

Доказательство. Для каждого , корневая функция является непрерывной функцией на . Если определяется с помощью непрерывного функционального исчисления, то следует из свойств исчисления. Из теоремы о спектральном отображении следует , т.е. является положительным. ^[19] Если — другой положительный элемент с , то выполняется, так как корневая функция на положительных действительных числах является обратной функцией к функции . ^[13] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ${\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)}$ ${\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a}$ ${\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle c^{n}=a=b^{n}}$ ${\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

Если — самосопряженный элемент, то по крайней мере для каждого нечетного существует однозначно определенный самосопряженный элемент с . ^[20] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$

Аналогично, для положительного элемента C*-алгебры каждый определяет однозначно определенный положительный элемент , такой что выполняется для всех . Если обратимо, это также может быть распространено на отрицательные значения . ^[19] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ${\displaystyle a^{\alpha }}$ ${\displaystyle C^{*}(a)}$ ${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \geq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$

Абсолютное значение

Если , то элемент положителен, так что абсолютное значение может быть определено с помощью непрерывного функционального исчисления , поскольку он непрерывен на положительных действительных числах. ^[21] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$ ${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}$

Пусть будет самосопряженным элементом C*-алгебры , тогда существуют положительные элементы , такие, что при выполняется. Элементы и также называются положительной и отрицательной частями . ^[22] Кроме того, выполняется. ^[23] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$

Доказательство. Функции и являются непрерывными функциями на с и . Положим и . Согласно теореме о спектральном отображении, и являются положительными элементами, для которых и выполняется. ^[22] Кроме того, , такой, что выполняется. ^[23] ${\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}$ ${\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z)}$ ${\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0}$ ${\displaystyle a_{+}=f_{+}(a)}$ ${\displaystyle a_{-}=f_{-}(a)}$ ${\displaystyle a_{+}}$ ${\displaystyle a_{-}}$ ${\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-}}$ ${\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}}$ ${\textstyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}}}$ ${\textstyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}}$

Унитарные элементы

Если — самосопряженный элемент C*-алгебры с единичным элементом , то — унитарен, где обозначает мнимую единицу . Обратно, если — унитарен, с ограничением, что спектр является собственным подмножеством единичной окружности, т. е . , существует самосопряженный элемент с . ^[24] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}$ ${\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$

Доказательство. ^[24] Это с , поскольку является самосопряженным, следует, что , т.е. является функцией на спектре . Поскольку , с использованием функционального исчисления следует, что , т.е. является унитарным. Поскольку для другого утверждения существует , такое, что функция является действительной непрерывной функцией на спектре для , такое, что является самосопряженным элементом, который удовлетворяет . ${\displaystyle u=f(a)}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1}$ ${\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \sigma (u)\subseteq \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}\mid z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi \}}$ ${\displaystyle f(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z})=z}$ ${\displaystyle \sigma (u)}$ ${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi }$ ${\displaystyle a=f(u)}$ ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} f(u)}=u}$

Теорема спектрального разложения

Пусть — унитальная C*-алгебра и нормальный элемент. Пусть спектр состоит из попарно непересекающихся замкнутых подмножеств для всех , т.е. . Тогда существуют проекции , обладающие следующими свойствами для всех : ^[25] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle 1\leq j,k\leq n}$

• Для спектра справедливо. ${\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}}$
• Проекции коммутируют с , т.е. . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p_{k}a=ap_{k}}$
• Проекции ортогональны , т.е. ${\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}}$
• Сумма проекций является единичным элементом, т.е. . ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e}$

В частности, существует разложение, для которого справедливо для всех . ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ${\displaystyle \sigma (a_{k})=\sigma _{k}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

Доказательство. ^[25] Поскольку все замкнуты, характеристические функции непрерывны на . Теперь пусть будет определено с помощью непрерывного функционала. Так как попарно не пересекаются, и выполняется и, таким образом, удовлетворяют заявленным свойствам, как можно видеть из свойств непрерывного функционального уравнения. Для последнего утверждения пусть . ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)}$

Примечания

1. Диксмье 1977, стр. 3.
2. Диксмье 1977, стр. 12–13.
3. Кадисон и Рингроуз 1983, стр. 272.
4. Dixmier 1977, стр. 5,13.
5. Dixmier 1977, стр. 14.
6. Диксмье 1977, стр. 11.
7. Диксмье 1977, стр. 13.
8. Рид и Саймон 1980, стр. 222–223.
9. Диксмье 1977, стр. 5, 13.
10. Каниут 2009, стр. 147.
11. Блэкадар 2006, стр. 62.
12. Дейтмар и Эхтерхофф 2014, с. 55.
13. Kadison & Ringrose 1983, стр. 275.
14. Кадисон и Рингроуз 1983, стр. 239.
15. Kadison & Ringrose 1983, стр. 271.
16. Кабалло 2014, стр. 332.
17. Шмюдген 2012, стр. 93.
18. Рид и Саймон 1980, стр. 222.
19. Кадисон и Рингроуз 1983, стр. 248–249.
20. Блэкадар 2006, стр. 63.
21. Блэкадар 2006, стр. 64–65.
22. Kadison & Ringrose 1983, стр. 246.
23. Dixmier 1977, стр. 15.
24. Kadison & Ringrose 1983, стр. 274–275.
25. Kaballo 2014, стр. 375.

Ссылки

• Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры. Теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана . Берлин/Гейдельберг: Springer. ISBN 3-540-28486-9.
• Дейтмар, Антон; Эхтерхофф, Зигфрид (2014). Принципы гармонического анализа. Второе издание . Springer. ISBN 978-3-319-05791-0.
• Диксмье, Жак (1969). Les C*-algèbres et leurs representations (на французском языке). Готье-Виллар.
• Диксмье, Жак (1977). C*-алгебры . Перевод Джеллетта, Фрэнсиса. Амстердам/Нью-Йорк/Оксфорд: Северная Голландия. ISBN 0-7204-0762-1.Английский перевод Les C*-algèbres et leurs représentations (на французском языке). Готье-Виллар. 1969.
• Кабалло, Винфрид (2014). Aufbaukurs Функциональный анализ и теория оператора (на немецком языке). Берлин/Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-642-37794-5.
• Кадисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983). Основы теории операторных алгебр. Том 1 Элементарная теория . Нью-Йорк/Лондон: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
• Каниут, Эберхард (2009). Курс коммутативных банаховых алгебр . Springer. ISBN 978-0-387-72475-1.
• Шмюдген, Конрад (2012). Неограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве . Springer. ISBN 978-94-007-4752-4.
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980). Методы современной математической физики. т. 1. Функциональный анализ . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
• Такесаки, Масамичи (1979). Теория операторных алгебр I. Гейдельберг/Берлин: Springer. ISBN 3-540-90391-7.

Внешние ссылки

• Непрерывное функциональное исчисление на PlanetMath