Континуум (теория множеств)

Действительные числа или их мощность

В математической области теории множеств континуум означает действительные числа или соответствующее (бесконечное) кардинальное число , обозначаемое как . ^{[1] [2]} Георг Кантор доказал, что мощность больше наименьшей бесконечности, а именно, . Он также доказал, что равно , мощности множества степеней натуральных чисел . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\!}$

Мощность континуума — это размер множества действительных чисел. Гипотеза континуума иногда формулируется так: между мощностью континуума и мощностью натуральных чисел , , или, в качестве альтернативы, . ^[1] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

Линейный континуум

По мнению Рэймонда Уайлдера (1965), существует четыре аксиомы, которые превращают множество C и отношение < в линейный континуум :

• C просто упорядочен относительно <.
• Если [ A,B ] является разрезом C , то либо A имеет последний элемент, либо B имеет первый элемент. (сравните разрез Дедекинда )
• Существует непустое счетное подмножество S множества C , такое что если x,y ∈ C , такое что x < y , то существует z ∈ S, такое что x < z < y . ( аксиома отделимости )
• C не имеет первого и последнего элемента. ( Аксиома неограниченности )

Эти аксиомы характеризуют тип порядка действительной числовой прямой .

Смотрите также

• Алеф нуль
• Проблема Суслина
• Трансфинитное число

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Continuum". mathworld.wolfram.com . Получено 12 августа 2020 г.
2. "Трансфинитное число | математика". Encyclopedia Britannica . Получено 2020-08-12 .

Библиография

• Рэймонд Л. Уайлдер (1965) Основы математики , 2-е изд., стр. 150, John Wiley & Sons .