В теории вероятностей непрерывный случайный процесс — это тип случайного процесса , который можно назвать « непрерывным » в зависимости от его «времени» или индексного параметра. Непрерывность — хорошее свойство для (примерных путей) процесса, поскольку оно подразумевает, что они в некотором смысле хорошо себя ведут и, следовательно, их гораздо легче анализировать. Здесь подразумевается, что индекс случайного процесса является непрерывной переменной. Некоторые авторы [1] определяют «непрерывный (стохастический) процесс» как требование, чтобы индексная переменная была непрерывной, без непрерывности путей выборки: в другой терминологии это был бы стохастический процесс с непрерывным временем , параллельный «дискретному процессу». -временной процесс». Учитывая возможную путаницу, необходима осторожность. [1]
Пусть (Ω, Σ, P ) — вероятностное пространство , пусть T — некоторый интервал времени и пусть X : T × Ω → S — случайный процесс. Для простоты в оставшейся части этой статьи пространство состояний S будет рассматриваться как действительная линия R , но определения проходят с соответствующими изменениями, если S является Rn , нормированным векторным пространством или даже общим метрическим пространством .
В момент времени t ∈ T X называется непрерывным с вероятностью единица в момент t , если
Для данного момента времени t ∈ T X называется непрерывным в среднеквадратическом значении в момент t , если E [| Икс т | 2 ] < +∞ и
В момент времени t ∈ T X называется непрерывным по вероятности в момент t , если для всех ε > 0
Эквивалентно, X является непрерывным по вероятности в момент времени t , если
В момент времени t ∈ T X называется непрерывным по распределению в момент t , если
для всех точек x , в которых F t непрерывна, где F t обозначает кумулятивную функцию распределения случайной величины X t .
X называется выборочно непрерывным, если X t ( ω ) непрерывен по t для P - почти все ω ∈ Ω. Непрерывность образца — это подходящее понятие непрерывности для таких процессов, как диффузия Ито .
X называется непрерывным по Феллеру процессом , если для любого фиксированного t ∈ T и любой ограниченной , непрерывной и Σ- измеримой функции g : S → R E x [ g ( X t )] непрерывно зависит от x . Здесь x обозначает начальное состояние процесса X , а E x обозначает ожидание, обусловленное событием, которое X начинается в x .
Отношения между различными типами непрерывности случайных процессов сродни отношениям между различными типами сходимости случайных величин . В частности:
Соблазнительно спутать непрерывность с вероятностью единица и непрерывностью выборки. Непрерывность с вероятностью единица в момент времени t означает, что P ( A t ) = 0, где событие A t определяется формулой
и вполне возможно проверить, справедливо ли это для каждого t ∈ T . С другой стороны, непрерывность выборки требует, чтобы P ( A ) = 0, где
A — это несчетное объединение событий, поэтому на самом деле оно может и не быть событием, поэтому P ( A ) может быть неопределенным! Хуже того, даже если A является событием, P ( A ) может быть строго положительным, даже если P(At ) = 0 для каждого t ∈ T. Так обстоит дело, например, с телеграфным процессом .
![{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}^{2}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65386e8cce739420ab75e8964c7bac1387798bf)
![{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\frac {{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}{1+{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8506614d9b22c52c6e1d87f11966c0200552321)
