Причинный фильтр

При обработке сигналов причинный фильтр представляет собой линейную и не зависящую от времени причинную систему . Слово « каузальный» указывает на то, что выходной сигнал фильтра зависит только от прошлых и настоящих входных данных. Фильтр , выходной сигнал которого также зависит от будущих входных данных, является некаузальным , тогда как фильтр, выходной сигнал которого зависит только от будущих входных данных, является антикаузальным . Системы (включая фильтры), которые реализуемы (т.е. которые работают в реальном времени ), должны быть причинными, поскольку такие системы не могут действовать на будущие входные данные. По сути, это означает, что выходной образец, который лучше всего представляет входные данные в данный момент, выходит немного позже. Обычной практикой проектирования цифровых фильтров является создание реализуемого фильтра путем сокращения и/или смещения во времени беспричинной импульсной характеристики. Если сокращение необходимо, оно часто осуществляется как результат импульсной реакции с функцией окна . ${\displaystyle t,}$

Примером антикаузального фильтра является фильтр максимальной фазы , который можно определить как стабильный антикаузальный фильтр, обратный которому также является стабильным и антикаузальным.

Каждый компонент выходного сигнала причинного фильтра начинается тогда, когда начинается его стимул. Выходы непричинного фильтра начинаются до начала стимула.

Пример

Следующее определение представляет собой скользящее среднее входных данных . Постоянный коэффициент 1 ⁄ 2 опущен для простоты: ${\displaystyle s(x)\,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{x-1}^{x+1}s(\tau )\,d\tau \ =\int _{-1}^{+1}s(x+\tau )\,d\tau \,}$

где может представлять пространственную координату, как при обработке изображений. Но если представляет время , то определенное таким образом скользящее среднее является непричинным (также называемым нереализуемым ), поскольку зависит от будущих входных данных, таких как . Реализуемый результат – это ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t)\,}$ ${\displaystyle f(t)\,}$ ${\displaystyle s(t+1)\,}$

${\displaystyle f(t-1)=\int _{-2}^{0}s(t+\tau )\,d\tau =\int _{0}^{+2}s(t-\tau )\,d\tau \,}$

который представляет собой отложенную версию нереализуемого результата.

Любой линейный фильтр (например, скользящее среднее) можно охарактеризовать функцией h ( t ), называемой его импульсной характеристикой . Его результатом является свертка

${\displaystyle f(t)=(h*s)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau .\,}$

В этих терминах причинность требует

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau }$

и общее равенство этих двух выражений требует h ( t ) = 0 для всех t  < 0.

Характеристика причинных фильтров в частотной области

Пусть h ( t ) — причинный фильтр с соответствующим преобразованием Фурье H (ω). Определите функцию

${\displaystyle g(t)={h(t)+h^{*}(-t) \over 2}}$

что не является причинным. С другой стороны, g ( t ) эрмитова и, следовательно, ее преобразование Фурье G (ω) вещественнозначно. Теперь у нас есть следующее соотношение

${\displaystyle h(t)=2\,\Theta (t)\cdot g(t)\,}$

где Θ( t ) — единичная ступенчатая функция Хевисайда .

Это означает, что преобразования Фурье h ( t ) и g ( t ) связаны следующим образом

${\displaystyle H(\omega )=\left(\delta (\omega )-{i \over \pi \omega }\right)*G(\omega )=G(\omega )-i\cdot {\widehat {G}}(\omega )\,}$

где преобразование Гильберта выполняется в частотной области (а не во временной области). Знак может зависеть от определения преобразования Фурье. ${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$

Преобразование Гильберта приведенного выше уравнения дает следующее соотношение между «H» и его преобразованием Гильберта:

${\displaystyle {\widehat {H}}(\omega )=iH(\omega )}$

Рекомендации

• Пресс, Уильям Х.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (сентябрь 2007 г.), Числовые рецепты (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 767, ISBN 9780521880688
• Роуэлл (январь 2009 г.), Определение причинно-следственной связи системы по ее частотной характеристике (PDF) , MIT OpenCourseWare