В математической логике теория является полной , если она непротиворечива и для каждой замкнутой формулы на языке теории доказуема либо эта формула, либо ее отрицание . То есть для каждого предложения теория содержит предложение или его отрицание, но не то и другое (то есть либо или ). Рекурсивно аксиоматизируемые теории первого порядка , которые являются последовательными и достаточно богатыми, чтобы позволить сформулировать общие математические рассуждения, не могут быть полными, как демонстрирует первая теорема Гёделя о неполноте .
Это чувство полноты отличается от понятия полной логики , которое утверждает, что для каждой теории, которая может быть сформулирована в логике, все семантически действительные утверждения являются доказуемыми теоремами (в соответствующем смысле слова «семантически действительные»). Теорема Гёделя о полноте касается именно этого последнего вида полноты.
Полные теории замкнуты при ряде условий, внутренне моделирующих Т-схему :
Максимальные непротиворечивые множества являются фундаментальным инструментом в теории моделей классической логики и модальной логики . Их существование в данном случае обычно является прямым следствием леммы Цорна , основанной на идее о том, что противоречие предполагает использование только конечного числа посылок. В случае модальных логик совокупности максимальных непротиворечивых множеств, расширяющих теорию T (замкнутую по правилу необходимости) , можно придать структуру модели T , называемой канонической моделью.
Некоторые примеры полных теорий:
