неравенство Минковского

Неравенство, устанавливающее, что пространства L ^p являются нормированными векторными пространствами

В математическом анализе неравенство Минковского устанавливает , что пространства L p являются нормированными векторными пространствами . Пусть будет пространством меры , пусть и пусть и будут элементами Тогда входит в и мы имеем неравенство треугольника с равенством для тогда и только тогда, когда и положительно линейно зависимы ; то есть для некоторых или Здесь норма задается как: если или в случае по существенному супремуму ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{p}(S).}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle L^{p}(S),}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle g=0.}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$$ ${\displaystyle p<\infty ,}$ ${\displaystyle p=\infty }$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}$$

Неравенство Минковского — это неравенство треугольника . На самом деле, это частный случай более общего факта , где легко видеть, что правая часть удовлетворяет неравенству треугольника. ${\displaystyle L^{p}(S).}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$$

Как и неравенство Гёльдера , неравенство Минковского можно специфицировать для последовательностей и векторов, используя меру подсчета : для всех действительных (или комплексных ) чисел и где — мощность ( количество элементов в ). $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Неравенство названо в честь немецкого математика Германа Минковского .

Доказательство

Во-первых, мы докажем, что имеет конечную -норму, если и оба имеют, что следует из Действительно, здесь мы используем тот факт, что является выпуклым над (для ) и поэтому, по определению выпуклости, Это означает, что ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$$ ${\displaystyle h(x)=|x|^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle p>1}$ $${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.}$$ $${\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}$$

Теперь мы можем законно говорить о том, что если это ноль, то неравенство Минковского выполняется. Теперь предположим, что это не ноль. Используя неравенство треугольника, а затем неравенство Гельдера , мы находим, что ${\displaystyle \|f+g\|_{p}.}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{p}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}}$$

Получаем неравенство Минковского, умножая обе части на $${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.}$$

Интегральное неравенство Минковского

Предположим, что и являются двумя 𝜎-конечными мерными пространствами и измеримо. Тогда интегральное неравенство Минковского имеет вид: ^{[1] [2]} с очевидными модификациями в случае Если и обе стороны конечны, то равенство имеет место только тогда, когда ae для некоторых неотрицательных измеримых функций и ${\displaystyle (S_{1},\mu _{1})}$ ${\displaystyle (S_{2},\mu _{2})}$ ${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),}$$ ${\displaystyle p=\infty .}$ ${\displaystyle p>1,}$ ${\displaystyle |F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi .}$

Если — счетная мера на двухточечном множестве , то интегральное неравенство Минковского дает обычное неравенство Минковского как частный случай: для подстановки для интегрального неравенства получаем ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle S_{1}=\{1,2\},}$ ${\displaystyle f_{i}(y)=F(i,y)}$ ${\displaystyle i=1,2,}$ $${\displaystyle \|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.}$$

Если измеримая функция неотрицательна, то для всех ^[3] ${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$ $${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .}$$

Эта нотация была обобщена для с использованием этой нотации, манипулирование показателями показывает, что если то $${\displaystyle \|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}}$$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.}$ ${\displaystyle p<q,}$ ${\displaystyle \|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}.}$

Обратное неравенство

При выполнении обратного неравенства: ${\displaystyle p<1}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.}$$

Нам также необходимо ограничение, что и и являются неотрицательными, как мы можем видеть из примера и ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=-1,g=1}$ ${\displaystyle p=1:}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.}$

Обратное неравенство следует из тех же рассуждений, что и стандартное неравенство Минковского, но использует тот факт, что неравенство Гёльдера также обращается в этом диапазоне.

Используя обратный закон Минковского, мы можем доказать, что средние степенные функции, такие как среднее гармоническое и среднее геометрическое, являются вогнутыми. ${\displaystyle p\leq 1,}$

Обобщения на другие функции

Неравенство Минковского можно обобщить на другие функции, выходящие за рамки степенной функции. Обобщенное неравенство имеет вид ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x^{p}.}$ $${\displaystyle \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).}$$

Различные достаточные условия были найдены Малхолландом ^[4] и другими. Например, для одного набора достаточных условий от Малхолланда есть ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x\geq 0}$

1. ${\displaystyle \phi (x)}$непрерывна и строго возрастает с ${\displaystyle \phi (0)=0.}$
2. ${\displaystyle \phi (x)}$является выпуклой функцией ${\displaystyle x.}$
3. ${\displaystyle \log \phi (x)}$является выпуклой функцией ${\displaystyle \log(x).}$

Смотрите также

• Неравенство Коши–Шварца  – Математическое неравенство, связывающее внутренние произведения и нормы.
• Неравенство Гельдера  – Неравенство между интегралами в пространствах Lp
• Неравенство Малера  – неравенство, связывающее среднее геометрическое двух конечных последовательностей положительных чисел с суммой каждого отдельного среднего геометрического.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Неравенство свертки Юнга  – Математическое неравенство о свертке двух функций
• Неравенство Юнга для произведений  – Математическая концепция

Ссылки

1. Штейн 1970, §A.1.
2. Харди, Литтлвуд и Полиа 1988, Теорема 202.
3. Бахури, Чемин и Данчин 2011, стр. 4.
4. Малхолланд, HP (1949). «Об обобщениях неравенства Минковского в форме неравенства треугольника». Труды Лондонского математического общества . s2-51 (1): 294–307. doi :10.1112/plms/s2-51.4.294.

• Бахури, Хаджер ; Шемен, Жан-Ив ; Данчин, Рафаэль (2011). Анализ Фурье и нелинейные уравнения в частных производных. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 343. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC  704397128.
• Харди, Г. Х.; Литтлвуд , Дж. Э .; Полиа, Г. (1988). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека (второе издание). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35880-9.
• Минковский, Х. (1953). Геометрия дер Зален . Челси..
• Стайн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций . Princeton University Press..
• М.И. Войцеховский (2001) [1994], "Неравенство Минковского", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Лоуотер, Артур Дж. (1982). «Введение в неравенства».

Дальнейшее чтение

• Буллен, PS (2003), «Средства мощности», Справочник средств и их неравенств , Дордрехт: Springer Netherlands, стр. 175–265, doi :10.1007/978-94-017-0399-4_3, ISBN 978-90-481-6383-0, получено 2022-06-23