Неравенства Турана

В математике неравенства Турана — это некоторые неравенства для полиномов Лежандра, найденные Палом Тураном  (1950) (и впервые опубликованные Сегё (1948)). Существует много обобщений для других полиномов, часто называемых неравенствами Турана, данные (EF Beckenbach, W. Seidel & Otto Szász 1951) и другими авторами.

Если - -й многочлен Лежандра , неравенства Турана утверждают, что ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x)\ {\text{for}}\ -1<x<1.}$

Для , -го полинома Эрмита , неравенства Турана имеют вид ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0,}$

в то время как для полиномов Чебышева они

${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0\ {\text{for}}\ -1<x<1.}$

Смотрите также

• Неравенство Аски–Гаспера
• Цепь Штурма

Ссылки

• Беккенбах, Э.Ф.; Зайдель, В.; Сас, Отто (1951), «Рекуррентные определители Лежандра и ультрасферических полиномов», Duke Math. J. , 18 : 1–10, doi :10.1215/S0012-7094-51-01801-7, MR  0040487
• Сегё, Г. (1948), «О неравенстве П. Турана относительно полиномов Лежандра», Bull. Amer. Math. Soc. , 54 (4): 401–405, doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09017-6 , MR  0023954
• Туран, Пауль (1950), «О нулях многочленов Лежандра», Časopis Pěst. Мат. Фис. , 75 (3): 113–122, doi : 10.21136/CPMF.1950.123879 , MR  0041284