Гауссово корреляционное неравенство

Неравенство гауссовой корреляции утверждает, что вероятность попадания дротиком и в круг, и в прямоугольник больше или равна произведению отдельных вероятностей попадания в круг или прямоугольник.

Неравенство гауссовой корреляции ( GCI ), ранее известное как гипотеза гауссовой корреляции ( GCC ), представляет собой математическую теорему в области математической статистики и выпуклой геометрии .

Заявление

Неравенство корреляции Гаусса гласит:

Пусть будет n -мерной гауссовской вероятностной мерой на , т.е. многомерным нормальным распределением , с центром в начале координат. Тогда для всех выпуклых множеств , симметричных относительно начала координат , ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle E,F\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mu (E\cap F)\geq \mu (E)\cdot \mu (F).}$

В качестве простого примера для n = 2 можно представить себе дротики, бросаемые в доску, с точками приземления на плоскости, распределенными в соответствии с 2-переменным нормальным распределением с центром в начале координат. (Это разумное предположение для любого игрока в дартс, при этом разные игроки описываются разными нормальными распределениями.) Если теперь мы рассмотрим круг и прямоугольник на плоскости, оба с центром в начале координат, то доля дротиков, приземлившихся в пересечении обеих фигур, не меньше произведения долей дротиков, приземлившихся в каждой фигуре. Это также можно сформулировать в терминах условных вероятностей : если вам известно, что ваш последний дротик попал в прямоугольник, то эта информация увеличит вашу оценку вероятности того, что дротик попал в круг.

История

Частный случай неравенства был предположен в 1955 году; ^[1] дальнейшее развитие было дано Олив Джин Данн в 1958 году. ^{[2] [3]} Общий случай был сформулирован в 1972 году, также как гипотеза. ^[4] Случай размерности n = 2 был доказан в 1977 году ^[5] , а некоторые особые случаи более высокой размерности также были доказаны в последующие годы. ^[6]

Общий случай неравенства оставался открытым до 2014 года, когда Томас Ройен , отставной немецкий статистик, доказал его, используя относительно элементарные инструменты. ^[7] Фактически, Ройен обобщил гипотезу и доказал ее для многомерных гамма-распределений . Доказательство не привлекло внимания, когда оно было опубликовано в 2014 году, из-за относительной анонимности Ройена и того факта, что доказательство было опубликовано в хищном журнале . ^{[2] [8]} Другой причиной была история ложных доказательств (другими) и множество неудачных попыток доказать гипотезу, вызывающих скептицизм среди математиков в этой области. ^[2]

Гипотеза и ее решение привлекли внимание общественности в 2017 году, когда другие математики описали доказательство Ройена в популярной публикации ^[9], а популярные СМИ сообщили об этой истории. ^{[2] [10] [11]}

Ссылки

1. Даннетт, К. У.; Собель, М. (1955). «Приближения к интегралу вероятности и некоторым процентным точкам многомерного аналога t-распределения Стьюдента». Biometrika . 42 (1–2): 258–267. doi :10.1093/biomet/42.1-2.258. ISSN  0006-3444.
2. Wolchover, Natalie (28 марта 2017 г.). «Долгожданное доказательство, найденное и почти утерянное». Журнал QUANTA . Получено 4 апреля 2017 г.
3. Шехтман, Г.; Шлюмпрехт, Т.; Зинн, Дж. (январь 1998 г.). «О гауссовой мере пересечения». Анналы вероятности . 26 (1): 346–357. doi : 10.1214/aop/1022855422 . ISSN  0091-1798. S2CID  119824731.
4. Das Gupta, S.; Eaton, ML; Olkin, I.; Perlman, M.; Savage, LJ; Sobel, M. (1972). Неравенства вероятностного содержания выпуклых областей для эллиптически контурированных распределений . Труды Шестого симпозиума в Беркли по математической статистике и вероятности. Том II: Теория вероятностей. Беркли, Калифорния: Univ. California Press. С. 241–265.
5. Питт, Лорен Д. (1977). «Гауссово корреляционное неравенство для симметричных выпуклых множеств». Анналы вероятности . 5 (3): 470–474. doi : 10.1214/aop/1176995808 .
6. Хардж, Жиль (1999). «Частный случай неравенства корреляции для гауссовой меры» (PDF) . Анналы вероятности . 27 (4): 1939–1951. doi :10.1214/aop/1022874822. S2CID  118789169.
7. Ройен, Томас (ноябрь 2014 г.). «Простое доказательство гипотезы гауссовой корреляции, распространенное на многомерные гамма-распределения». Far East Journal of Theoretical Statistics . 48 (2): 139–145. arXiv : 1408.1028 .
8. "Pushpa Publishing House". www.pphmj.com . Получено 4 июля 2017 г. .
9. Латала, Р.; Матлак, Д. (2017). «Доказательство Ройена неравенства корреляции Гаусса». Геометрические аспекты функционального анализа . Конспект лекций по математике. Том 2169. С. 265–275. arXiv : 1512.08776 . doi :10.1007/978-3-319-45282-1_17. ISBN 978-3-319-45281-4. S2CID  36992343.
10. Фаранд, Хлоя (2017-04-03). «Пенсионер решает одну из самых сложных математических задач в мире, и никто этого не замечает». The Independent . Получено 2017-04-04 .
11. Дамбек, Хольгер (4 апреля 2017 г.). «Erfolg mit 67 Jahren: Der Wunderopa der Mathematik». ШПИГЕЛЬ ОНЛАЙН . Проверено 4 апреля 2017 г.

Внешние ссылки

• Джордж Лоутер, Гипотеза гауссовой корреляции, «Почти наверняка»