Неравенство Высочанского–Петунина.

В теории вероятностей неравенство Высочанского– Петунина дает нижнюю границу для вероятности того, что случайная величина с конечной дисперсией лежит в пределах определенного числа стандартных отклонений среднего значения переменной , или, что эквивалентно, верхнюю границу для вероятности того, что она лежит дальше. Единственные ограничения на распределение состоят в том, что оно должно быть унимодальным и иметь конечную дисперсию ; здесь унимодальный подразумевает, что это непрерывное распределение вероятностей, за исключением моды , которая может иметь ненулевую вероятность.

Теорема

Пусть — случайная величина с унимодальным распределением, и . Если мы определим то для любого , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\mathbb {E} [(X-\alpha )^{2}]}}}$ ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\begin{cases}{\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}}&r\geq {\sqrt {8/3}}\rho \\{\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}&r\leq {\sqrt {8/3}}\rho .\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Связь с неравенством Гаусса

Приравнивая к моде, получаем первый случай неравенства Гаусса . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X}$

Плотность связи

Без потери общности предположим и . ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \rho =1}$

• Если , то левая часть может быть равна единице, поэтому граница бесполезна. ${\displaystyle r<1}$

• Если , то граница точная, когда с вероятностью , а в противном случае распределена равномерно в интервале . ${\displaystyle r\geq {\sqrt {8/3}}}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle 1-{\frac {4}{3r^{2}}}}$ ${\displaystyle \left[-{\frac {3r}{2}},{\frac {3r}{2}}\right]}$

• Если , то граница точная, когда с вероятностью , а в противном случае распределена равномерно в интервале . ${\displaystyle 1\leq r\leq {\sqrt {8/3}}}$ ${\displaystyle X=r}$ ${\displaystyle {\frac {4}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle \left[-{\frac {r}{2}},r\right]}$

Специализация по среднему значению и дисперсии

Если имеет среднее значение и конечную, ненулевую дисперсию , то беря и давая, что для любого ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =\mu }$ ${\displaystyle r=\lambda \sigma }$ ${\textstyle \lambda >{\sqrt {\frac {8}{3}}}=1.63299...,}$

${\displaystyle \operatorname {Pr} (\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2}}}.}$

Эскиз доказательства

Для относительно элементарного доказательства см. ^[1] Грубая идея доказательства заключается в том, что есть два случая: один, когда мода близка к по сравнению с , в этом случае мы можем показать , и один, когда мода далека от по сравнению с , в этом случае мы можем показать . Объединение этих двух случаев дает Когда , оба случая дают одно и то же значение. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq \max \left({\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}},{\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}\right).}$ ${\displaystyle {\frac {r}{\rho }}={\sqrt {\frac {8}{3}}}}$

Характеристики

Теорема уточняет неравенство Чебышева , включая множитель 4/9, что стало возможным благодаря условию, что распределение должно быть унимодальным.

При построении контрольных карт и других статистических эвристик принято устанавливать λ = 3 , что соответствует верхней границе вероятности 4/81= 0,04938..., и строить пределы 3-сигмы, чтобы ограничить почти все (т. е. 95%) значения выходного сигнала процесса. Без унимодальности неравенство Чебышева дало бы более свободную границу 1/9 = 0,11111... .

Односторонняя версия

Существует улучшенная версия неравенства Высочанского-Петунина для односторонних хвостовых границ. Для унимодальной случайной величины со средним значением и дисперсией , и , одностороннее неравенство Высочанского-Петунина ^[2] имеет следующий вид: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r\geq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X-\mu \geq r)\leq {\begin{cases}{\dfrac {4}{9}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{2}+\sigma ^{2}}}&{\mbox{for }}r^{2}\geq {\dfrac {5}{3}}\sigma ^{2},\\{\dfrac {4}{3}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{2}+\sigma ^{2}}}-{\dfrac {1}{3}}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Одностороннее неравенство Высочанского-Петунина, а также связанное с ним неравенство Кантелли могут быть, например, актуальны в финансовой сфере в смысле того, «насколько большими могут быть убытки».

Доказательство

Доказательство очень похоже на доказательство неравенства Кантелли . Для любого , ${\displaystyle u\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (X-\mu \geq r)&=\mathbb {P} ((X+u)-\mu \geq r+u)\\&\leq \mathbb {P} (|(X+u)-\mu )|\geq r+u).\\\end{aligned}}}$

Тогда можно применить неравенство Высочанского-Петунина. При , имеем: ${\displaystyle \rho ^{2}=\mathbb {E} [((X+u)-\mu )^{2}]=u^{2}+\sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (|(X+u)-\mu )|\geq r+u)&\leq {\begin{cases}{\frac {4}{9}}{\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}&r+u\geq {\sqrt {8/3}}\rho \\{\frac {4}{3}}{\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}-{\frac {1}{3}}&r+u\leq {\sqrt {8/3}}\rho \end{cases}}.\end{aligned}}}$

Как и в доказательстве неравенства Кантелли, можно показать, что минимум по всем достигается при . Подставляя это значение и упрощая, получаем искомое неравенство. ${\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}}$ ${\displaystyle u\geq 0}$ ${\displaystyle u=\sigma ^{2}/r}$ ${\displaystyle u}$

Обобщение

Дхармадхикари и Джоаг-Дев ^[3] обобщили неравенство VP на отклонения от произвольной точки и моменты порядка, отличные от ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(|X-\alpha |\geq r)\leq \max \left\{{\frac {s\tau _{k}-r^{k}}{(s-1)r^{k}}},\left[{\frac {k}{k+1}}\right]^{k}{\frac {\tau _{k}}{r^{k}}}\right\}\\\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{k}=E\left(|X-\alpha |^{k}\right),s>(k+1),s(s-k-1)^{k}=k^{k}\end{aligned}}}$

Стандартную форму неравенства можно восстановить, установив что приводит к уникальному значению . ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle s=4}$

Смотрите также

• Неравенство Гаусса , аналогичный результат для расстояния от моды, а не от среднего значения
• Правило трех (статистика) , аналогичный результат для распределения Бернулли

Ссылки

1. Пукельсхайм, Ф., 1994. Правило трех сигм. Американский статистик, 48(2), стр.88-91
2. Меркадье, Матье; Штробель, Франк (16.11.2021). «Одностороннее неравенство Высочанского-Петунина с финансовыми приложениями» (PDF) . European Journal of Operational Research . 295 (1): 374–377. doi :10.1016/j.ejor.2021.02.041. ISSN  0377-2217.
3. Дхармадхикари, SW и Джоаг-Дев, K., 1986. Неравенство Гаусса–Чебышева для унимодальных распределений. Теория вероятностей и ее приложения, 30(4), стр.867–871.

• Д. Ф. Высочанский, Ю. И. Петунин (1980). «Обоснование правила 3σ для унимодальных распределений». Теория вероятностей и математическая статистика . 21 : 25–36.
• Отчет (о диагностике рака) Петунина и других, формулирующий теорему на английском языке