Неравенство Эрдеша–Турана

В математике неравенство Эрдёша–Турана ограничивает расстояние между вероятностной мерой на окружности и мерой Лебега , в терминах коэффициентов Фурье . Оно было доказано Полом Эрдёшем и Палом Тураном в 1948 году. ^{[1] [2]}

Пусть μ — вероятностная мера на единичной окружности R / Z. Неравенство Эрдёша–Турана утверждает, что для любого натурального числа n

${\displaystyle \sup _{A}\left|\mu (A)-\mathrm {mes} \,A\right|\leq C\left({\frac {1}{n}}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {|{\hat {\mu }}(k)|}{k}}\right),}$

где супремум берется по всем дугам A ⊂ R / Z единичной окружности, mes обозначает меру Лебега,

${\displaystyle {\hat {\mu }}(k)=\int \exp(2\pi ik\theta )\,d\mu (\theta )}$

— коэффициенты Фурье μ , а C >  0 — числовая константа.

Применение к несоответствию

Пусть s ₁ , s ₂ , s ₃ ... ∈ R — последовательность. Неравенство Эрдёша–Турана, примененное к мере

${\displaystyle \mu _{m}(S)={\frac {1}{m}}\#\{1\leq j\leq m\,|\,s_{j}\,\mathrm {mod} \,1\in S\},\quad S\subset [0,1),}$

дает следующую границу для расхождения :

${\displaystyle {\begin{aligned}D(m)&\left(=\sup _{0\leq a\leq b\leq 1}{\Big |}m^{-1}\#\{1\leq j\leq m\,|\,a\leq s_{j}\,\mathrm {mod} \,1\leq b\}-(b-a){\Big |}\right)\\[8pt]&\leq C\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\left|\sum _{j=1}^{m}e^{2\pi is_{j}k}\right|\right).\end{aligned}}\qquad (1)}$

Это неравенство справедливо для произвольных натуральных чисел m,n и дает количественную форму критерия Вейля для равнораспределения .

Многомерный вариант (1) известен как неравенство Эрдеша-Турана-Коксмы .

Примечания

1. Эрдеш, П.; Туран, П. (1948). «Об одной задаче теории равномерного распределения. I». (PDF) . Труды Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen . 51 : 1146–1154. МР  0027895. Збл  0031.25402.
2. Эрдеш, П.; Туран, П. (1948). «Об одной задаче теории равномерного распределения. II» (PDF) . Труды Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen . 51 : 1262–1269. МР  0027895. Збл  0032.01601.

Дополнительные ссылки

• Харман, Глин (1998). Метрическая теория чисел . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том 18. Clarendon Press . ISBN 0-19-850083-1. Збл  1081.11057.