неравенство CHSH

Проверяемое следствие локальных теорий скрытых переменных

В физике неравенство CHSH может быть использовано в доказательстве теоремы Белла , которая утверждает, что некоторые последствия запутанности в квантовой механике не могут быть воспроизведены локальными теориями скрытых переменных . Экспериментальная проверка нарушенного неравенства рассматривается как подтверждение того, что природа не может быть описана такими теориями. CHSH означает Джона Клаузера , Майкла Хорна , Эбнера Шимони и Ричарда Холта, которые описали его в часто цитируемой статье, опубликованной в 1969 году. ^[1] Они вывели неравенство CHSH, которое, как и исходное неравенство Джона Стюарта Белла , ^[2] является ограничением — на статистическое возникновение «совпадений» в тесте Белла — которое обязательно верно, если существует базовая локальная теория скрытых переменных . На практике неравенство регулярно нарушается современными экспериментами в квантовой механике. ^[3]

Заявление

Обычная форма неравенства CHSH:

где

${\displaystyle a}$и — настройки детектора на стороне , и на стороне , четыре комбинации тестируются в отдельных подэкспериментах. Термины и т. д. — это квантовые корреляции пар частиц, где квантовая корреляция определяется как ожидаемое значение произведения «результатов» эксперимента, т. е. статистическое среднее значение , где — отдельные результаты, с использованием кодирования +1 для канала «+» и −1 для канала «−». Вывод Клаузера и др. 1969 г. ^[1] был ориентирован на использование «двухканальных» детекторов, и действительно, именно для них он обычно используется, но в соответствии с их методом единственными возможными результатами были +1 и −1. Чтобы адаптироваться к реальным ситуациям, которые в то время означали использование поляризованного света и одноканальных поляризаторов, им пришлось интерпретировать «−» как «необнаружение в канале «+»», т. е. либо «−», либо ничего. В оригинальной статье они не обсуждали, как двухканальное неравенство может быть применено в реальных экспериментах с реальными несовершенными детекторами, хотя позже было доказано ^[4] , что само неравенство было в равной степени действительным. Однако возникновение нулевых результатов означает, что уже не так очевидно, как следует оценивать значения E из экспериментальных данных. ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E(a,b)}$ ${\displaystyle A(a)\times B(b)}$ ${\displaystyle A,B}$

Математический формализм квантовой механики предсказывает, что значение превышает 2 для систем, подготовленных в подходящих запутанных состояниях и при соответствующем выборе настроек измерения (см. ниже). Максимальное нарушение, предсказанное квантовой механикой, равно ( граница Цирельсона ) ^[5] и может быть получено из максимального запутанного состояния Белла . ^[6] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

Эксперименты

Многие тесты Белла, проведенные после второго эксперимента Алена Аспекта в 1982 году, использовали неравенство CHSH, оценивая члены с помощью (3) и предполагая справедливую выборку. Были зарегистрированы некоторые существенные нарушения неравенства. ^[7]

Схема «двухканального» теста Белла
Источник S производит пары фотонов, посылаемых в противоположных направлениях. Каждый фотон сталкивается с двухканальным поляризатором ( a и b ), ориентация которого может быть установлена ​​экспериментатором. Выходные сигналы из каждого канала обнаруживаются, а совпадения подсчитываются монитором совпадений CM .

На практике большинство реальных экспериментов использовали свет, а не электроны, которые изначально имел в виду Белл. Интересующим свойством в наиболее известных экспериментах ^{[8] [9] [10]} является направление поляризации, хотя могут использоваться и другие свойства. На схеме показан типичный оптический эксперимент. Совпадения (одновременные обнаружения) регистрируются, результаты классифицируются как «++», «+−», «−+» или «−−», и соответствующие подсчеты накапливаются.

Проводятся четыре отдельных подэксперимента, соответствующих четырем членам в тестовой статистике S ( 2 , выше). На практике обычно выбираются настройки a = 0° , a ′ = 45° , b = 22,5° и b ′ = 67,5° — «тестовые углы Белла» — для которых квантово-механическая формула дает наибольшее нарушение неравенства. ${\displaystyle E(a,b)}$

Для каждого выбранного значения регистрируется количество совпадений в каждой категории . Экспериментальная оценка для затем рассчитывается как: ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \left\{N_{++},N_{--},N_{+-},N_{-+}\right\}}$ ${\displaystyle E(a,b)}$

После того, как все E оценены, можно найти экспериментальную оценку S (Уравнение 2 ). Если она численно больше 2, то неравенство CHSH нарушено, и эксперимент считается подтвердившим предсказание квантовой механики и исключившим все локальные теории скрытых переменных.

В статье CHSH перечислено множество предварительных условий (или «разумных и/или предполагаемых предположений») для вывода упрощенной теоремы и формулы. Например, для того, чтобы метод был действительным, необходимо предположить, что обнаруженные пары являются справедливой выборкой из испускаемых. В реальных экспериментах детекторы никогда не бывают эффективны на 100%, так что обнаруживается только выборка из испускаемых пар. Тонкое, связанное с этим требование заключается в том, чтобы скрытые переменные не влияли на вероятность обнаружения и не определяли ее таким образом, чтобы это привело к разным выборкам в каждой ветви эксперимента.

Неравенство CHSH было нарушено для пар фотонов , пар ионов бериллия , пар ионов иттербия , пар атомов рубидия , целых пар облаков атомов рубидия, вакансий азота в алмазах и кубитов фазы Джозефсона . ^[11]

Вывод

Первоначальный вывод 1969 года здесь не приводится, поскольку его сложно отследить, и он предполагает, что все результаты равны +1 или −1, но никогда не равны нулю. Вывод Белла 1971 года более общий. Он фактически предполагает «объективную локальную теорию», позже использованную Клаузером и Хорном. ^[12] Предполагается, что любые скрытые переменные, связанные с самими детекторами, независимы на двух сторонах и могут быть усреднены с самого начала. Другой интересный вывод приведен в статье Клаузера и Хорна 1974 года, в которой они начинают с неравенства CH74.

Вывод Белла 1971 года

Нижеследующее основано на странице 37 книги Белла « Выразимое и невыразимое» ^[4], основное изменение заключается в использовании символа « E » вместо « P » для ожидаемого значения квантовой корреляции. Это позволяет избежать любого предположения, что квантовая корреляция сама по себе является вероятностью.

Мы начинаем со стандартного предположения о независимости двух сторон, что позволяет нам получать совместные вероятности пар исходов путем умножения отдельных вероятностей для любого выбранного значения «скрытой переменной» λ. Предполагается, что λ взято из фиксированного распределения возможных состояний источника, причем вероятность того, что источник находится в состоянии λ для любого конкретного испытания, задается функцией плотности ρ(λ), интеграл которой по полному пространству скрытых переменных равен 1. Таким образом, мы предполагаем, что можем записать: где A и B — исходы. Поскольку возможные значения A и B равны −1, 0 и +1, отсюда следует, что: $${\displaystyle E(a,b)=\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda }$$

Тогда, если a , a ′, b и b ′ являются альтернативными настройками для детекторов,

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{aligned}}}$

Взяв абсолютные значения обеих сторон и применив неравенство треугольника к правой части, получаем

${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$

Мы используем тот факт, что и оба неотрицательны, чтобы переписать правую часть этого уравнения как ${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )}$ ${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )}$ $${\displaystyle \int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b',\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$$

Согласно ( 4 ), это должно быть меньше или равно , что, используя тот факт, что интеграл от ρ ( λ ) равен 1, равно , что равно . $${\displaystyle \int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda }$$ $${\displaystyle 2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho (\lambda )d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda \right]}$$ ${\displaystyle 2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$

Объединяя это с левой частью, имеем: что означает, что левая часть меньше или равна как и . То есть: откуда мы получаем (снова по неравенству треугольника ), что является неравенством CHSH. $${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$$ ${\displaystyle 2+\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$ ${\displaystyle 2-\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$ $${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$ $${\displaystyle 2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$

Вывод из неравенства Клаузера и Хорна 1974 года

В своей статье 1974 года ^[12] Клаузер и Хорн показывают, что неравенство CHSH может быть выведено из неравенства CH74. Как они говорят нам, в двухканальном эксперименте одноканальный тест CH74 по-прежнему применим и обеспечивает четыре набора неравенств, управляющих вероятностями p совпадений.

Работая с неоднородной версией неравенства, мы можем записать: где j и k являются знаками «+» или «−», указывающими, какие детекторы рассматриваются. $${\displaystyle -1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b)+p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0}$$

Чтобы получить статистику теста CHSH S ( 2 ), нужно всего лишь умножить неравенства, для которых j отличается от k, на −1 и добавить их к неравенствам, для которых j и k одинаковы.

Оптимальное нарушение общим квантовым состоянием

В экспериментальной практике две частицы не являются идеальной парой EPR . Существует необходимое и достаточное условие для двухкубитной матрицы плотности , чтобы нарушить неравенство CHSH, выраженное максимально достижимым полиномом S _max, определенным в уравнении 2. [ ^13] Это важно в квантовом распределении ключей на основе запутанности , где скорость секретного ключа зависит от степени корреляций измерений. ^[14] ${\displaystyle \rho }$

Введем действительную матрицу 3×3 с элементами , где — матрицы Паули . Затем найдем собственные значения и собственные векторы действительной симметричной матрицы , где индексы отсортированы по . Затем максимальный полином CHSH определяется двумя наибольшими собственными значениями, ^[13] ${\displaystyle T_{\rho }}$ ${\displaystyle t_{ij}=\operatorname {Tr} [\rho \cdot (\sigma _{i}\otimes \sigma _{j})]}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle U_{\rho }=T_{\rho }^{\text{T}}T_{\rho }}$ $${\displaystyle U_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {e}}_{i},\quad |{\boldsymbol {e}}_{i}|=1,\quad i=1,2,3,}$$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$ $${\displaystyle S_{\text{max}}(\rho )=2{\sqrt {\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$$

Оптимальные базы измерений

Существует оптимальная конфигурация баз измерения a, a', b, b' для заданного , которая дает S _max с по крайней мере одним свободным параметром. ^{[15] [16]} ${\displaystyle \rho }$

Проективное измерение, которое дает либо +1, либо −1 для двух ортогональных состояний соответственно, может быть выражено оператором . Выбор этого базиса измерения может быть параметризован действительным единичным вектором и вектором Паули , выражая . Тогда ожидаемая корреляция в базисах a, b равна Числовые значения базисных векторов, когда они найдены, могут быть напрямую переведены в конфигурацию проективных измерений. ^[16] ${\displaystyle |\alpha \rangle ,|\alpha ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {A} =|\alpha \rangle \langle \alpha |-|\alpha ^{\perp }\rangle \langle \alpha ^{\perp }|}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{3},|{\boldsymbol {a}}|=1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathrm {A} ={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ $${\displaystyle E(a,b)=\operatorname {Tr} [\rho ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\otimes ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})]={\boldsymbol {a}}^{\text{T}}T_{\rho }{\boldsymbol {b}}.}$$

Оптимальный набор базисов для состояния находится путем взятия двух наибольших собственных значений и соответствующих собственных векторов , и нахождения вспомогательных единичных векторов , где является свободным параметром. Мы также вычисляем острый угол , чтобы получить базисы, которые максимизируют Уравнение 2 , ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda _{1,2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1,2}}$ ${\displaystyle U_{\rho }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {c}}&={\boldsymbol {e}}_{1}\cos \varphi +{\boldsymbol {e}}_{2}\sin \varphi ,\\{\boldsymbol {c}}'&={\boldsymbol {e}}_{1}\sin \varphi -{\boldsymbol {e}}_{2}\cos \varphi ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \theta =\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {\lambda _{2}+\lambda _{1}\tan ^{2}{\varphi }}{\lambda _{1}+\lambda _{2}\tan ^{2}{\varphi }}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'|,\\{\boldsymbol {a}}'&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {c}}\cos \theta +{\boldsymbol {c}}'\sin \theta ,\\{\boldsymbol {b}}'&={\boldsymbol {c}}\cos \theta -{\boldsymbol {c}}'\sin \theta .\end{aligned}}}$$

В квантовом распределении ключей на основе запутанности есть другой базис измерения, используемый для передачи секретного ключа ( предполагая, что Алиса использует сторону A). Затем базы должны минимизировать частоту квантовых ошибок Q , которая является вероятностью получения различных результатов измерения (+1 на одной частице и −1 на другой). ^[14] Соответствующие базы следующие ^[16] Полином CHSH S также должен быть максимизирован, что вместе с базисами выше создает ограничение . ^[16] ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0},{\boldsymbol {b}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}_{0}&=T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}/|T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {e}}_{1}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi =\pi /4}$

игра ЧШ

Игра CHSH — это мысленный эксперимент с участием двух сторон, разделенных на большом расстоянии (достаточном, чтобы исключить классическую коммуникацию со скоростью света), каждая из которых имеет доступ к половине запутанной пары из двух кубитов. Анализ этой игры показывает, что никакая классическая локальная теория скрытых переменных не может объяснить корреляции, которые могут возникнуть в результате запутывания. Поскольку эта игра действительно физически реализуема, это дает веские доказательства того, что классическая физика принципиально неспособна объяснить некоторые квантовые явления, по крайней мере, «локальным» образом.

В игре CHSH есть два игрока, Алиса и Боб, и судья Чарли. Эти агенты будут сокращенно называться соответственно. В начале игры Чарли выбирает биты равномерно случайным образом, а затем отправляет их Алисе и Бобу. Затем Алиса и Боб должны ответить Чарли битами соответственно. Теперь, как только Алиса и Боб отправляют свои ответы обратно Чарли, Чарли проверяет, если , где ∧ обозначает логическую операцию И , а ⊕ обозначает логическую операцию XOR . Если это равенство выполняется, то Алиса и Боб выигрывают, а если нет, то они проигрывают. ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle x,y\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a,b\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle a\oplus b=x\land y}$

Также требуется, чтобы ответы Алисы и Боба могли зависеть только от битов, которые они видят: поэтому ответ Алисы зависит только от , и аналогично для Боба. Это означает, что Алисе и Бобу запрещено напрямую общаться друг с другом о значениях битов, отправленных им Чарли. Однако Алисе и Бобу разрешено выбрать общую стратегию до начала игры. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

В следующих разделах показано, что если Алиса и Боб используют только классические стратегии, включающие их локальную информацию (и потенциально некоторые случайные подбрасывания монеты), то им невозможно выиграть с вероятностью выше 75%. Однако, если Алисе и Бобу разрешено совместно использовать одну запутанную пару кубитов, то существует стратегия, которая позволяет Алисе и Бобу добиться успеха с вероятностью ~85%.

Оптимальная классическая стратегия

Сначала мы устанавливаем, что любая детерминированная классическая стратегия имеет вероятность успеха не более 75% (где вероятность берется по равномерно случайному выбору Чарли ). Под детерминированной стратегией мы подразумеваем пару функций , где — функция, определяющая ответ Алисы как функцию сообщения, которое она получает от Чарли, а — функция, определяющая ответ Боба на основе того, что он получает. Чтобы доказать, что любая детерминированная стратегия терпит неудачу по крайней мере в 25% случаев, мы можем просто рассмотреть все возможные пары стратегий для Алисы и Боба, которых существует не более 8 (для каждой стороны существует 4 функции ). Можно проверить, что для каждой из этих 8 стратегий всегда есть по крайней мере одна из четырех возможных пар входных данных , которая делает стратегию неудачной. Например, в стратегии, где оба игрока всегда отвечают 0, мы имеем, что Алиса и Боб выигрывают во всех случаях, за исключением случая, когда , поэтому при использовании этой стратегии их вероятность выигрыша составляет ровно 75%. ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle f_{A},f_{B}:\{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$ ${\displaystyle f_{A}}$ ${\displaystyle f_{B}}$ ${\displaystyle \{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$ ${\displaystyle (x,y)\in \{0,1\}^{2}}$ ${\displaystyle x=y=1}$

Теперь рассмотрим случай рандомизированных классических стратегий, где Алиса и Боб имеют доступ к коррелированным случайным числам. Их можно получить, совместно подбрасывая монету несколько раз до начала игры, и Алисе и Бобу по-прежнему разрешено общаться. Выход, который они выдают в каждом раунде, является функцией как сообщения Чарли, так и результата соответствующего подбрасывания монеты. Такую стратегию можно рассматривать как распределение вероятностей по детерминированным стратегиям, и, таким образом, ее вероятность успеха является взвешенной суммой по вероятностям успеха детерминированных стратегий. Но поскольку каждая детерминированная стратегия имеет вероятность успеха не более 75%, эта взвешенная сумма также не может превышать 75%.

Оптимальная квантовая стратегия

Теперь представьте, что Алиса и Боб разделяют двухкубитное запутанное состояние: , обычно называемое парой EPR . Алиса и Боб будут использовать эту запутанную пару в своей стратегии, как описано ниже. Оптимальность этой стратегии тогда следует из границы Цирельсона . ${\textstyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$

Получив бит от Чарли, Алиса измерит свой кубит в базисе или в базисе , в зависимости от того, или , соответственно. Затем она обозначит два возможных выхода, полученных в результате каждого выбора измерения, как если бы наблюдалось первое состояние в базисе измерения, и в противном случае. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a=1}$

Боб также использует бит, полученный от Чарли, чтобы решить, какое измерение выполнить: если он измеряет в базисе , а если он измеряет в базисе , где с . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle \{|a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle \}}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle \{|b_{0}\rangle ,|b_{1}\rangle \}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&|a_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |a_{1}\rangle =-\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\\&|b_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle -\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |b_{1}\rangle =\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta =\pi /8}$

Следующая таблица показывает, как играется. Состояния расположены в порядке, который помещает каждое состояние между двумя наиболее похожими. Они могут соответствовать, например, фотонам, поляризованным под углами 0°, 22,5°, 45°, ... 180° (где 180° и 0° являются одним и тем же состоянием).

Чтобы проанализировать вероятность успеха, достаточно проанализировать вероятность того, что они выведут выигрышную пару значений на каждом из четырех возможных входов , а затем взять среднее значение. Мы анализируем случай, когда здесь: В этом случае выигрышными парами ответов являются и . На входе мы знаем, что Алиса будет измерять в базисе , а Боб будет измерять в базисе . Тогда вероятность того, что они оба выведут 0, такая же, как вероятность того, что их измерения дадут соответственно, так что точно . Аналогично, вероятность того, что они оба выведут 1, равна точно . Таким образом, вероятность того, что произойдет любой из этих успешных результатов, равна . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x=y=0}$ ${\displaystyle a=b=0}$ ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle x=y=0}$ ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }$ ${\displaystyle |a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle ,|a_{0}\rangle }$ ${\textstyle |(\langle 0|\otimes \langle a_{0}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\textstyle |(\langle 1|\otimes \langle a_{1}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$

В случае 3 других возможных пар входных данных по сути идентичный анализ показывает, что Алиса и Боб будут иметь одинаковую вероятность выигрыша , поэтому общая средняя вероятность выигрыша для случайно выбранного входного значения составляет . Поскольку , это строго лучше того, что было возможно в классическом случае. ${\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)\approx 85\%}$

Моделирование общих квантовых стратегий

Произвольную квантовую стратегию для игры CHSH можно смоделировать как тройку , где ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)}$

• ${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}\otimes \mathbb {C} ^{d}}$является двудольным государством для некоторых , ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle A_{0}}$и являются наблюдаемыми величинами Алисы , каждая из которых соответствует получению от рефери, и ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle x\in \{0,1\}}$
• ${\displaystyle B_{0}}$и являются наблюдаемыми Бобом, каждая из которых соответствует получению от рефери. ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle y\in \{0,1\}}$

Оптимальная квантовая стратегия, описанная выше, может быть переписана в этой нотации следующим образом: — это пара EPR , наблюдаемая (соответствующая измерению Алисы в базисе), наблюдаемая (соответствующая измерению Алисы в базисе), где и — матрицы Паули . Наблюдаемые и (соответствующие каждому выбору Боба базиса для измерения). Мы обозначим вероятность успеха стратегии в игре CHSH как , а смещение стратегии определим как , что является разницей между вероятностями выигрыша и проигрыша . ${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$ ${\textstyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$ ${\displaystyle A_{0}=Z}$ ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle A_{1}=X}$ ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle B_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+Z)}$ ${\textstyle B_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(Z-X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}):=2\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

В частности, мы имеем Смещение квантовой стратегии, описанной выше, равно . $${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})={\frac {1}{4}}\sum _{x,y\in \{0,1\}}(-1)^{x\wedge y}\cdot \langle \psi |A_{x}\otimes B_{y}|\psi \rangle .}$$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

Неравенство Цирельсона и жесткость CHSH

Неравенство Цирельсона, открытое Борисом Цирельсоном в 1980 году, ^[17] утверждает, что для любой квантовой стратегии для игры CHSH смещение . Эквивалентно, оно утверждает, что вероятность успеха для любой квантовой стратегии для игры CHSH. В частности, это подразумевает оптимальность квантовой стратегии, описанной выше для игры CHSH. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\textstyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ $${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Неравенство Цирельсена устанавливает, что максимальная вероятность успеха любой квантовой стратегии равна , и мы увидели, что эта максимальная вероятность успеха достигается квантовой стратегией, описанной выше. Фактически, любая квантовая стратегия, которая достигает этой максимальной вероятности успеха, должна быть изоморфна (в точном смысле) канонической квантовой стратегии, описанной выше; это свойство называется жесткостью игры CHSH, впервые приписанной Саммерсу и Вернеру. ^[18] Более формально, мы имеем следующий результат: ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$

Теорема (Точная жесткость CHSH)  —  Пусть будет квантовой стратегией для игры CHSH, где такая, что . Тогда существуют изометрии и , где изоморфны таким, что , положив , мы имеем , где обозначает пару EPR, а обозначает некоторое чистое состояние, и ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\displaystyle V:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}}$ ${\displaystyle W:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {B}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle |\theta \rangle =(V\otimes W)|\psi \rangle }$ $${\displaystyle |\theta \rangle =|\Phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {B}}_{1}}\otimes |\phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {B}}_{2}}}$$ ${\textstyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {B}}_{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(V\otimes W)A_{0}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {A}}_{1}}|\theta \rangle ,&\qquad (V\otimes W)B_{0}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}}_{1}}|\theta \rangle ,\\(V\otimes W)A_{1}|\psi \rangle =X_{{\mathcal {A}}_{1}}|\theta \rangle ,&\qquad (V\otimes W)B_{1}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}}_{1}}|\theta \rangle .\end{aligned}}}$$

Неформально, приведенная выше теорема утверждает, что при произвольной оптимальной стратегии для игры CHSH существует локальное изменение базиса (заданное изометриями ) для Алисы и Боба, такое, что их общее состояние разлагается на тензор пары EPR и дополнительное вспомогательное состояние . Более того, наблюдаемые Алисы и Боба и ведут себя, с точностью до унитарных преобразований, как и наблюдаемые на их соответствующих кубитах из пары EPR. Приближенная или количественная версия жесткости CHSH была получена Маккагом и др. ^[19], которые доказали, что если у вас есть квантовая стратегия такая, что для некоторых , то существуют изометрии, при которых стратегия близка к канонической квантовой стратегии. Известны также доказательства приближенной жесткости с точки зрения теории представлений. ^[20] ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle (A_{0},A_{1})}$ ${\displaystyle (B_{0},B_{1})}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\textstyle \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)-\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle O({\sqrt {\epsilon }})}$

Приложения

Обратите внимание, что игру CHSH можно рассматривать как тест на квантовую запутанность и квантовые измерения, и что жесткость игры CHSH позволяет нам тестировать как определенную запутанность, так и определенные квантовые измерения. Это, в свою очередь, может быть использовано для тестирования или даже проверки целых квантовых вычислений — в частности, жесткость игр CHSH была использована для построения протоколов для проверяемого квантового делегирования, ^{[21] [22]} сертифицированного расширения случайности, ^[23] и независимой от устройства криптографии. ^[24]

Смотрите также

• Корреляция не подразумевает причинно-следственную связь
• Неравенство Леггетта–Гарга
• Квантовая теория игр

Ссылки

1. JF Clauser; MA Horne; A. Shimony; RA Holt (1969), "Предложенный эксперимент для проверки локальных теорий скрытых переменных", Phys. Rev. Lett. , 23 (15): 880–4, Bibcode : 1969PhRvL..23..880C, doi : 10.1103/PhysRevLett.23.880
2. JS Bell (1964), «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена», Physics Physique Физика , 1 (3): 195–200, doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195, воспроизведено как Гл. 2 книги Дж. С. Белла (1987), Выразимое и невыразимое в квантовой механике , Cambridge University Press
3. Маркофф, Джек (21 октября 2015 г.). «Извините, Эйнштейн. Квантовое исследование предполагает реальность «жуткого действия»». New York Times . Получено 21 октября 2015 г.
4. JS Bell, в Foundations of Quantum Mechanics , Proceedings of the International School of Physics “Enrico Fermi”, Course XLIX, B. d'Espagnat (ed.) (Academic, New York, 1971), p. 171 и Приложение B. Страницы 171-81 воспроизведены как Глава 4 JS Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge University Press, 1987)
5. Cirel'son, BS (март 1980). "Квантовые обобщения неравенства Белла". Письма в математическую физику . 4 (2): 93–100. Bibcode :1980LMaPh...4...93C. doi :10.1007/BF00417500. S2CID  120680226.
6. Перес, Эшер (2002). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer Academic. стр. 164–165. ISBN 0-792-33632-1.
7. Хенсен, Б.; Берниен, Х.; Дрео, А.Е.; Райзерер, А.; Калб, Н.; Блок, М.С.; Руитенберг, Дж.; Вермюлен, RFL; Схоутен, РН; Абеллан, К.; Амайя, В.; Прунери, В.; Митчелл, штат Вашингтон; Маркхэм, М.; Твитчен, диджей; Элкусс, Д.; Венер, С.; Таминиау, TH; Хэнсон, Р. (2015). «Нарушение неравенства Белла без лазеек с использованием спинов электронов, разделенных на 1,3 километра». Природа . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Бибкод : 2015Natur.526..682H. дои : 10.1038/nature15759. PMID  26503041. S2CID  205246446.
8. Ален Аспект; Филипп Гранжье; Жерар Роже (1981), «Экспериментальные проверки реалистичных локальных теорий с помощью теоремы Белла», Phys. Rev. Lett. , 47 (7): 460–3, Bibcode : 1981PhRvL..47..460A, doi : 10.1103/PhysRevLett.47.460
9. Ален Аспект; Филипп Гранжье; Жерар Роже (1982), "Экспериментальная реализация мысленного эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома: новое нарушение неравенств Белла", Phys. Rev. Lett. , 49 (2): 91, Bibcode : 1982PhRvL..49...91A, doi : 10.1103/PhysRevLett.49.91
10. Ален Аспект; Жан Далибар; Жерар Роже (1982), «Экспериментальная проверка неравенств Белла с использованием анализаторов, изменяющихся во времени», Phys. Rev. Lett. , 49 (25): 1804–7, Bibcode : 1982PhRvL..49.1804A, doi : 10.1103/PhysRevLett.49.1804
11. «Первое экспериментальное доказательство реальности квантовой запутанности». SciTech Daily . 9 октября 2022 г. Получено 10 октября 2022 г.
12. JF Clauser; MA Horne (1974), "Экспериментальные следствия объективных локальных теорий", Phys. Rev. D , 10 (2): 526–35, Bibcode : 1974PhRvD..10..526C, doi : 10.1103/PhysRevD.10.526
13. R. Horodecki; P. Horodecki; M. Horodecki (1995), "Нарушение неравенства Белла смешанными спиновыми состояниями : Необходимое и достаточное условие", Phys.Lett. A , 200 (5): 340–344, doi :10.1016/0375-9601(95)00214-N ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
14. Стефано Пиронио; Антонио Асин; Николас Бруннер; Николас Гизин; Серж Массар; Валерио Скарани (2009), "Независимое от устройств распределение квантовых ключей, защищенное от коллективных атак", New J. Phys. , 11 (4): 045021, arXiv : 0903.4460 , Bibcode :2009NJPh...11d5021P, doi : 10.1088/1367-2630/11/4/045021 , S2CID  7971771
15. AG Kofman (2012), «Оптимальные условия для нарушения неравенства Белла при наличии декогеренции и ошибок», Quantum Inf. Process. , 11 : 269–309, arXiv : 0804.4167 , doi : 10.1007/s11128-011-0242-1, S2CID  41329613
16. Р. Хошак; И. Страка; А. Предоевич; Р. Филип; М. Ежек (2021), "Влияние статистики источника на использование запутанности фотонов в распределении квантовых ключей", Phys. Rev. A , 103 (4): 042411, arXiv : 2008.07501 , Bibcode : 2021PhRvA.103d2411H, doi : 10.1103/PhysRevA.103.042411, S2CID  221140079
17. "Квантовые обобщения неравенства Белла". www.tau.ac.il .
18. Максимальное нарушение неравенств Белла является общим в квантовой теории поля, Саммерс и Вернер (1987)
19. McKague, M; Yang, TH; Scarani, V (19 октября 2012 г.). «Надежное самотестирование синглета». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 45 (45): 455304. arXiv : 1203.2976 . doi : 10.1088/1751-8113/45/45/455304. S2CID  118535156.
20. «Заметки летней школы UCSD: Квантовые многопользовательские игры, тестирование и жесткость, Томас Видик (2018)» (PDF) .
21. Коладанжело, Андреа; Грило, Алекс; Джеффри, Стейси; Видик, Томас (9 января 2020 г.). «Верификатор на поводке: новые схемы для проверяемых делегированных квантовых вычислений с квазилинейными ресурсами». arXiv : 1708.07359 [quant-ph].
22. Грило, Алекс Б. (5 июня 2020 г.). «Простой протокол для проверяемого делегирования квантовых вычислений за один раунд». arXiv : 1711.09585 [quant-ph].
23. Вазирани, Умеш В.; Видик, Томас (25 ноября 2011 г.). «Сертифицируемые квантовые кости — или проверяемое экспоненциальное расширение случайности». arXiv : 1111.6054 [quant-ph].
24. Вазирани, Умеш; Видик, Томас (29 сентября 2014 г.). «Полностью независимое от устройства квантовое распределение ключей». Physical Review Letters . 113 (14): 140501. arXiv : 1210.1810 . Bibcode : 2014PhRvL.113n0501V. doi : 10.1103/PhysRevLett.113.140501. PMID  25325625. S2CID  119299119.

Внешние ссылки

• Неравенство Белла - Виртуальная лаборатория Quantum Flytrap, интерактивное моделирование нарушения неравенства Белла CHSH ^[1]

1. Мигдал, Петр; Янкевич, Клементина; Грабарж, Павел; Декароли, Кьяра; Кочин, Филипп (2022). «Визуализация квантовой механики в интерактивном моделировании - Виртуальная лаборатория от Quantum Flytrap». Оптическая инженерия . 61 (8): 081808.arXiv : 2203.13300 . дои :10.1117/1.OE.61.8.081808.