Неравенство Турана–Кубилиуса

Теорема вероятностной теории чисел об аддитивных комплекснозначных арифметических функциях

Неравенство Турана –Кубилиуса — математическая теорема в вероятностной теории чисел . Она полезна для доказательства результатов о нормальном порядке арифметической функции . ^{[1] : 305–308} Теорема была доказана в частном случае в 1934 году Палом Тураном и обобщена в 1956 и 1964 годах Йонасом Кубилиусом . ^{[1] : 316}

Формулировка теоремы

Эта формулировка взята из Tenenbaum . ^{[1] : 302} Другие формулировки есть у Narkiewicz ^{[2] : 243} и у Cojocaru & Murty. ^{[3] : 45–46}

Предположим, что f — аддитивная комплекснозначная арифметическая функция , и обозначим p как произвольное простое число, а ν — как произвольное положительное целое число. Запишем

${\displaystyle A(x)=\sum _{p^{\nu }\leq x}f(p^{\nu })p^{-\nu }(1-p^{-1})}$

и

${\displaystyle B(x)^{2}=\sum _{p^{\nu }\leq x}\left|f(p^{\nu })\right|^{2}p^{-\nu }.}$

Тогда существует функция ε( x ), которая стремится к нулю, когда x стремится к бесконечности, и такая, что для x ≥ 2 мы имеем

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum _{n\leq x}|f(n)-A(x)|^{2}\leq (2+\varepsilon (x))B(x)^{2}.}$

Приложения теоремы

Туран разработал неравенство, чтобы создать более простое доказательство теоремы Харди–Рамануджана о нормальном порядке числа ω( n ) различных простых делителей целого числа n . ^{[1] : 316} Изложение доказательства Турана имеется в Hardy & Wright, §22.11. ^[4] Тененбаум ^{[1] : 305–308} дает доказательство теоремы Харди–Рамануджана, используя неравенство Турана–Кубилиуса, и приводит без доказательства несколько других приложений.

Примечания

1. Тененбаум, Жеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования по высшей математике. Том 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7.
2. Наркевич, Владислав (1983). Теория чисел. Сингапур: World Scientific. ISBN 978-9971-950-13-2.
3. Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам (2005). Введение в методы решета и их применение . Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 66. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-61275-6.
4. Харди, GH ; Райт, EM (2008) [Первое издание 1938]. Введение в теорию чисел . Переработано DR Heath-Brown и Joseph H. Silverman (шестое издание). Оксфорд, Оксфордшир: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5.