В теории категорий , дисциплине в математике, нерв N ( C ) малой категории C представляет собой симплициальное множество , построенное из объектов и морфизмов C . Геометрическая реализация этого симплициального множества представляет собой топологическое пространство , называемое классифицирующим пространством категории C . Эти тесно связанные объекты могут предоставить информацию о некоторых знакомых и полезных категориях, используя алгебраическую топологию , чаще всего теорию гомотопий .
Нерв категории часто используется для построения топологических версий пространств модулей . Если X является объектом C , его пространство модулей должно каким-то образом кодировать все объекты, изоморфные X , и отслеживать различные изоморфизмы между всеми этими объектами в этой категории. Это может стать довольно сложным, особенно если объекты имеют много нетождественных автоморфизмов. Нерв обеспечивает комбинаторный способ организации этих данных. Поскольку симплициальные множества имеют хорошую гомотопическую теорию, можно задавать вопросы о значении различных гомотопических групп π n ( N ( C ) ). Можно надеяться, что ответы на такие вопросы предоставят интересную информацию об исходной категории C или о связанных категориях.
Понятие нерва является прямым обобщением классического понятия классификационного пространства дискретной группы; подробности см. ниже.
Пусть C — малая категория. Для каждого объекта из C существует 0-симплекс из N ( C ). Для каждого морфизма f : x → y в C существует 1-симплекс . Теперь предположим, что f : x → y и g : y → z являются морфизмами в C . Тогда у нас также есть их композиция gf : x → z .
Диаграмма предлагает наш ход действий: добавить 2-симплекс для этого коммутативного треугольника. Каждый 2-симплекс N ( C ) получается из пары составных морфизмов таким образом. Добавление этих 2-симплексов не стирает и не игнорирует каким-либо иным образом морфизмы, полученные путем композиции, оно просто помнит, что именно так они возникают.
В общем случае N ( C ) k состоит из k -кортежей составных морфизмов
из C . Чтобы завершить определение N ( C ) как симплициального множества, мы должны также указать карты граней и вырожденности. Они также предоставляются нам структурой C как категории. Карты граней
задаются композицией морфизмов в i -м объекте (или удалением i- го объекта из последовательности, когда i равно 0 или k ). [1] Это означает, что d i отправляет k-й кортеж
к ( k − 1)-кортежу
То есть отображение d i объединяет морфизмы A i −1 → A i и A i → A i +1 в морфизм A i −1 → A i +1 , давая ( k − 1)-кортеж для каждого k -кортежа.
Аналогично, карты вырождения
задаются путем вставки тождественного морфизма в объект A i .
Симплициальные множества также можно рассматривать как функторы Δ op → Set , где Δ — категория полностью упорядоченных конечных множеств и морфизмов, сохраняющих порядок. Каждое частично упорядоченное множество P дает (малую) категорию i ( P ) с объектами — элементами P и с единственным морфизмом из p в q всякий раз, когда p ≤ q в P . Таким образом, мы получаем функтор i из категории Δ в категорию малых категорий. Теперь мы можем описать нерв категории C как функтор Δ op → Set
Это описание нерва делает функториальность прозрачной; например, функтор между малыми категориями C и D индуцирует отображение симплициальных множеств N ( C ) → N ( D ). Более того, естественное преобразование между двумя такими функторами индуцирует гомотопию между индуцированными отображениями. Это наблюдение можно рассматривать как начало одного из принципов теории высших категорий . Из этого следует, что сопряженные функторы индуцируют гомотопические эквивалентности . В частности, если C имеет начальный или конечный объект , его нерв стягиваем.
Первичным примером является классифицирующее пространство дискретной группы G . Мы рассматриваем G как категорию с одним объектом, эндоморфизмы которого являются элементами G . Тогда k -симплексы N ( G ) являются просто k -кортежами элементов G . Карты граней действуют умножением, а карты вырождения действуют вставкой единичного элемента. Если G является группой с двумя элементами, то существует ровно один невырожденный k -симплекс для каждого неотрицательного целого числа k , соответствующий уникальному k -кортежу элементов G , не содержащего тождеств. После перехода к геометрической реализации этот k -кортеж можно отождествить с уникальной k -клеткой в обычной структуре CW на бесконечномерном вещественном проективном пространстве . Последняя является наиболее популярной моделью для классифицирующего пространства группы с двумя элементами. См. (Segal 1968) для получения дополнительных подробностей и связи вышеизложенного с конструкцией соединения Милнора BG .
Каждое «разумное» топологическое пространство гомеоморфно классифицирующему пространству малой категории. Здесь «разумное» означает, что рассматриваемое пространство является геометрической реализацией симплициального множества. Это, очевидно, необходимое условие; оно также достаточно. Действительно, пусть X будет геометрической реализацией симплициального множества K . Множество симплексов в K частично упорядочено отношением x ≤ y тогда и только тогда, когда x является гранью y . Мы можем рассматривать это частично упорядоченное множество как категорию с отношениями как морфизмами. Нерв этой категории является барицентрическим подразделением K , и, таким образом, его реализация гомеоморфна X , поскольку X является реализацией K по гипотезе, а барицентрическое подразделение не меняет тип гомеоморфизма реализации.
Если X — топологическое пространство с открытым покрытием U i , то нерв покрытия получается из приведенных выше определений путем замены покрытия на категорию, полученную путем рассмотрения покрытия как частично упорядоченного множества с включениями множеств как отношениями (и, следовательно, морфизмами). Обратите внимание, что реализация этого нерва, как правило, не гомеоморфна X (или даже гомотопически эквивалентна): гомотопическая эквивалентность обычно будет иметь место только для хорошего покрытия сжимаемыми множествами, имеющими сжимаемые пересечения.
Можно использовать конструкцию нерва для восстановления пространств отображения и даже получить "высшую гомотопическую" информацию об отображениях. Пусть D — категория, а X и Y — объекты D. Часто возникает интерес к вычислению множества морфизмов X → Y. Мы можем использовать конструкцию нерва для восстановления этого множества. Пусть C = C ( X , Y ) — категория, объектами которой являются диаграммы
такие, что морфизмы U → X и Y → V являются изоморфизмами в D. Морфизмы в C ( X , Y ) представляют собой диаграммы следующего вида:
Здесь указанные отображения должны быть изоморфизмами или тождествами. Нерв C ( X , Y ) — это модульное пространство отображений X → Y . В подходящей настройке модельной категории это модульное пространство слабо гомотопически эквивалентно симплициальному множеству морфизмов D из X в Y .
Следующая теорема принадлежит Гротендику.
Теорема — Симплициальное множество является нервом категории тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условиям Сигала. [2]
См. также: Пространство Сигала .
