Регулярная особая точка

В математике , в теории обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости , точки классифицируются на обыкновенные , в которых коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями , и особые , в которых некоторый коэффициент имеет особенность . Затем среди особых точек проводится важное различие между регулярной особой точкой , где рост решений ограничен (в любом малом секторе) алгебраической функцией , и нерегулярной особой точкой , где полный набор решений требует функций с более высокими скоростями роста. Это различие имеет место, например, между гипергеометрическим уравнением , с тремя регулярными особыми точками, и уравнением Бесселя , которое в некотором смысле является предельным случаем , но где аналитические свойства существенно различаются. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Формальные определения

Точнее, рассмотрим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с мероморфными функциями p _i ( z ) . $${\displaystyle f^{(n)}(z)+\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0}$$

Уравнение должно быть изучено на сфере Римана, чтобы включить точку на бесконечности как возможную особую точку. Преобразование Мёбиуса может быть применено для перемещения ∞ в конечную часть комплексной плоскости, если требуется, см. пример для дифференциального уравнения Бесселя ниже.

Тогда метод Фробениуса , основанный на определяющем уравнении, может быть применен для поиска возможных решений, которые являются степенными рядами, умноженными на комплексные степени ( z − a ) ^r вблизи любого заданного a в комплексной плоскости, где r не обязательно должно быть целым числом; эта функция может существовать, следовательно, только благодаря разрезу ветви, простирающемуся от a , или на римановой поверхности некоторого проколотого диска вокруг a . Это не представляет трудности для a обычной точки ( Лазарь Фукс 1866). Когда a является регулярной особой точкой , что по определению означает, что имеет полюс порядка не более i в a , метод Фробениуса также может быть использован для работы и предоставления n независимых решений вблизи a . $${\displaystyle p_{n-i}(z)}$$

В противном случае точка a является нерегулярной особенностью . В этом случае группа монодромии, связывающая решения аналитическим продолжением, имеет меньше общего значения, и решения сложнее изучать, за исключением их асимптотических разложений. Нерегулярность нерегулярной особенности измеряется рангом Пуанкаре (Arscott (1995)).

Условие регулярности является своего рода условием многоугольника Ньютона в том смысле, что разрешенные полюса находятся в области, если ее построить относительно i , ограниченной линией под углом 45° к осям.

Обыкновенное дифференциальное уравнение, единственными особыми точками которого, включая точку на бесконечности, являются регулярные особые точки, называется фуксовым.обыкновенное дифференциальное уравнение.

Примеры для дифференциальных уравнений второго порядка

В этом случае приведенное выше уравнение сводится к следующему: $${\displaystyle f''(x)+p_{1}(x)f'(x)+p_{0}(x)f(x)=0.}$$

Различают следующие случаи:

• Точка a является обычной точкой , когда функции p ₁ ( x ) и p ₀ ( x ) являются аналитическими при x = a .
• Точка a является регулярной особой точкой , если p ₁ ( x ) имеет полюс до порядка 1 при x = a , а p ₀ имеет полюс до порядка 2 при x = a .
• В противном случае точка a является неправильной особой точкой .

Мы можем проверить, существует ли нерегулярная особая точка на бесконечности, используя подстановку и соотношения: ${\displaystyle w=1/x}$ $${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^{3}{\frac {df}{dw}}}$$

Таким образом, мы можем преобразовать уравнение в уравнение относительно w и проверить, что происходит при w = 0. Если и являются частными многочленов, то при бесконечном x будет существовать нерегулярная особая точка, если только многочлен в знаменателе не имеет степень, по крайней мере, на единицу большую, чем степень его числителя, а знаменатель не имеет степень, по крайней мере, на две больше, чем степень его числителя. ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ${\displaystyle p_{2}(x)}$ ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ${\displaystyle p_{2}(x)}$

Ниже приведено несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений математической физики, имеющих особые точки и известные решения.

Дифференциальное уравнение Бесселя

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно находится в решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах : для произвольного действительного или комплексного числа α ( порядок функции Бесселя ) . Наиболее распространенным и важным частным случаем является случай, когда α — целое число n . $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})f=0}$$

Разделив это уравнение на x ^2, получаем: $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0.}$$

В этом случае p ₁ ( x ) = 1/ x имеет полюс первого порядка при x = 0. Когда α ≠ 0 , p ₀ ( x ) = (1 − α ² / x ² ) имеет полюс второго порядка при x = 0. Таким образом, это уравнение имеет регулярную особенность в 0.

Чтобы увидеть, что происходит при x → ∞, нужно использовать преобразование Мёбиуса , например . После выполнения алгебры: ${\displaystyle x=1/w}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0}$$

Теперь при имеет полюс первого порядка, но имеет полюс четвертого порядка. Таким образом, это уравнение имеет нерегулярную особенность при , соответствующую x при ∞. ${\displaystyle w=0}$ $${\displaystyle p_{1}(w)={\frac {1}{w}}}$$ $${\displaystyle p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}}$$ ${\displaystyle w=0}$

дифференциальное уравнение Лежандра

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно находится в решении уравнения Лапласа в сферических координатах : $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+\ell (\ell +1)f=0.}$$

Раскрывая квадратные скобки, получаем: $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){d^{2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+\ell (\ell +1)f=0.}$$

И разделим на (1 − x ² ) : $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}{\frac {df}{dx}}+{\frac {\ell (\ell +1)}{1-x^{2}}}f=0.}$$

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки при ±1 и ∞.

Дифференциальное уравнение Эрмита

С этим обычным дифференциальным уравнением второго порядка мы сталкиваемся при решении одномерного, независимого от времени уравнения Шредингера для гармонического осциллятора . В этом случае потенциальная энергия V ( x ) равна: $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi }$$ $${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$$

Это приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка: $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{dx}}+\lambda f=0.}$$

Это дифференциальное уравнение имеет нерегулярную особенность в точке ∞. Его решения — полиномы Эрмита .

Гипергеометрическое уравнение

Уравнение можно определить как $${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.}$$

Разделив обе части на z (1 − z ), получаем: $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\frac {ab}{z(1-z)}}f=0.}$$

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в 0, 1 и ∞. Решением является гипергеометрическая функция .

Ссылки

• Arscott, FM (1995). "Уравнение Хойна". В A. Ronveaux (ред.). Дифференциальные уравнения Хойна. Oxford University Press. стр. 74. ISBN 0198596952.
• Коддингтон, Эрл А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: McGraw-Hill .
• ET Copson , Введение в теорию функций комплексного переменного (1935)
• Федорюк, М.В. (2001) [1994], "Уравнение Фукса", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• А. Р. Форсайт Теория дифференциальных уравнений. Т. IV: Обыкновенные линейные уравнения (Издательство Кембриджского университета, 1906)
• Эдуард Гурса , Курс математического анализа, том II, часть II: Дифференциальные уравнения , стр. 128–125 (Ginn & co., Бостон, 1917)
• EL Ince, Обыкновенные дифференциальные уравнения , Dover Publications (1944)
• Ильяшенко, Ю. С. (2001) [1994], "Регулярная особая точка", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• TM MacRobert Функции комплексной переменной стр. 243 (MacMillan, Лондон, 1917)
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• ET Whittaker и GN Watson Курс современного анализа, стр. 188–и далее. (Издательство Кембриджского университета, 1915)