В математике связность [1] используется для обозначения различных свойств, означающих, в некотором смысле, «все одна часть». Когда математический объект имеет такое свойство, мы говорим, что он связан ; в противном случае он разъединен . Когда разъединенный объект может быть естественным образом разделен на связанные части, каждая часть обычно называется компонентом (или связанным компонентом ).
Топологическое пространство называется связным, если оно не является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств . [2] Множество является открытым, если оно не содержит точек, лежащих на его границе ; таким образом, в неформальном, интуитивном смысле тот факт, что пространство может быть разделено на непересекающиеся открытые множества, предполагает, что граница между двумя множествами не является частью пространства и, таким образом, разделяет его на две отдельные части.
Области математики обычно имеют дело со специальными видами объектов. Часто такой объект называется связным , если, когда он рассматривается как топологическое пространство, он является связным пространством. Таким образом, многообразия , группы Ли и графы называются связными, если они связаны как топологические пространства, а их компоненты являются топологическими компонентами. Иногда удобно переформулировать определение связности в таких областях. Например, граф называется связным , если каждая пара вершин в графе соединена путем . Это определение эквивалентно топологическому, применяемому к графам, но с ним проще иметь дело в контексте теории графов . Теория графов также предлагает контекстно-независимую меру связности, называемую коэффициентом кластеризации .
Другие области математики занимаются объектами, которые редко рассматриваются как топологические пространства. Тем не менее, определения связности часто отражают топологическое значение в некотором роде. Например, в теории категорий категория считается связанной , если каждая пара объектов в ней соединена последовательностью морфизмов . Таким образом, категория является связанной, если она, интуитивно, представляет собой одну часть .
Могут быть разные понятия связности , которые интуитивно похожи, но различны как формально определенные концепции. Мы могли бы захотеть назвать топологическое пространство связным, если каждая пара точек в нем соединена путем . Однако это условие оказывается сильнее стандартной топологической связности; в частности, существуют связные топологические пространства, для которых это свойство не выполняется. Из-за этого используется другая терминология; пространства с этим свойством называются связными путями . Хотя не все связные пространства связны путями, все связные путями пространства связны.
Термины, включающие связность, также используются для свойств, которые связаны со связностью, но явно отличны от нее. Например, топологическое пространство с путевой связностью является просто связным, если каждая петля (путь от точки к себе) в нем является стягиваемой ; то есть, интуитивно, если по сути существует только один способ добраться из любой точки в любую другую точку. Таким образом, сфера и диск являются просто связными, а тор — нет. В качестве другого примера, направленный граф является сильно связным , если каждая упорядоченная пара вершин соединена направленным путем (то есть таким, который «следует стрелкам»).
Другие концепции выражают способ, которым объект не связан. Например, топологическое пространство полностью несвязано, если каждый из его компонентов является одной точкой.
Свойства и параметры, основанные на идее связности, часто включают в себя слово связность . Например, в теории графов связный граф — это тот, из которого мы должны удалить по крайней мере одну вершину, чтобы создать несвязный граф. [3] В знак признания этого такие графы также называются 1-связными . Аналогично, граф является 2-связным, если мы должны удалить по крайней мере две вершины из него, чтобы создать несвязный граф. 3-связный граф требует удаления по крайней мере трех вершин и так далее. Связность графа — это минимальное количество вершин, которые необходимо удалить, чтобы сделать его несвязным. Эквивалентно, связность графа — это наибольшее целое число k, для которого граф является k -связным.
Хотя терминология различается, формы существительных свойств, связанных со связностью, часто включают термин связность . Таким образом, при обсуждении просто связных топологических пространств гораздо чаще говорят о простой связности, чем о простой связности . С другой стороны, в областях, где формально не определено понятие связности , это слово может использоваться как синоним связности .
Другой пример связности можно найти в обычных плитках. Здесь связность описывает количество соседей, доступных из одной плитки :
